préimage

Dérivé de image, avec le préfixe pré-.

préimage \pʁe.i.maʒ\ féminin

1. (Mathématiques) Pour une application ${\displaystyle f}$ définie d’un ensemble ${\displaystyle X}$ à un ensemble ${\displaystyle Y}$ (${\displaystyle f:X\mapsto Y}$) et un sous-ensemble ${\displaystyle B}$ de l’ensemble de destination ${\displaystyle Y}$ (${\displaystyle B\subseteq Y}$), la préimage de ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle f^{-1}(B)}$, est l’ensemble des éléments de ${\displaystyle X}$ envoyés dans ${\displaystyle B}$ par ${\displaystyle f}$ :
   ${\displaystyle f^{-1}(B)=\{x\in X\mid f(x)\in B\}}$.
   • Soit la fonction ${\displaystyle f:\mathbb {R} \mapsto \mathbb {R} ;f(x\in \mathbb {R} )=x^{2}}$.
     La préimage de l’intervalle ${\displaystyle [+4;+9]}$ est le double intervalle ${\displaystyle [-3;-2]\cup [+2;+3]}$.
     La préimage de l’intervalle ${\displaystyle [-9;+9]}$ est l’intervalle ${\displaystyle [-3;+3]}$.
     La préimage de l’intervalle ${\displaystyle [-9;-1]}$ est l’ensemble vide ${\displaystyle \emptyset }$ (vu que ${\displaystyle x^{2}}$ est toujours positif).
2. (En particulier) (Mathématiques) Pour un seul élément ${\displaystyle y}$ de l’ensemble de destination, la préimage de ${\displaystyle y\in Y}$ est définie par : ${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\in X\mid f(x)=y\}}$, c’est-à-dire l’ensemble des antécédents de ${\displaystyle y}$.
   • Soit la fonction ${\displaystyle f:\mathbb {R} \mapsto \mathbb {R} ;f(x\in \mathbb {R} )=x^{2}}$.
     La préimage de +9 est ${\displaystyle \{-3;+3\}}$.
     La préimage de 0 est ${\displaystyle \{0\}}$.
     La préimage de -4 est l’ensemble vide ${\displaystyle \emptyset }$ (vu que ${\displaystyle x^{2}}$ est toujours positif).

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