Hermann Vermeil

Hermann Vermeil est un mathématicien allemand né le 20 octobre 1889 à Dresde et mort en 1959. Il est l'éponyme du théorème de Vermeil^[1] qu'il a publié en 1917^[1],[2],[3] et a établi l'unicité de la courbure scalaire^[4] : celle-ci est l'unique invariant contenant les dérivées du tenseur métrique seulement au second ordre, et ce linéairement^[4].

Hermann Hans Anton Vermeil naît le 20 octobre 1889^[5] à Dresde^[5]. Il est le fils de Jacques Vermeil^[5] et de son épouse Elisabeth née von Mangoldt^[5]. Il est le neveu de Hans von Mangoldt (1854-1925)^[6]. Il est de confession évangélique luthérienne^[5].

De 1896 à 1900, Wermeil est scolarisé à Dresde^[5]. De 1900 à 1909, il suit ses études secondaires au gymnasium de Dresde^[5]. Il suit ses études supérieures en mathématiques^[5] et en sciences naturelles^[5] d'abord à l'école poytechnique de Dantzid^[5] puis à l'université de Tübingen^[5] et enfin à celle de Leipzig^[5].

Vermeil devient l'assistant de Felix Klein (1849-1925)^[7]. À la demande de celui-ci, il étudie la courbure scalaire^[7]. Il prouve que celle-ci est l'unique invariant scalaire faisant intervenir des combinaisons linaires du tenseur métrique et de ses dérivées premières et secondes^[7]. Plus tard, Hermann Weyl (1885-1955) et Max von Laue (1879-1960) donneront des preuves supplémentaires^[7].

De 1919 à 1921, Vermeil est le dernier assistant de Klein^[8]. De 1920 à 1921, il est responsable, avec Robert Fricke (1861-1930), de l'édition complète des œuvres de Klein^[8].

Le théorème de Vermeil est le théorème en vertu duquel la courbure scalaire est l'unique scalaire invariant construit à partir du tenseur de Riemann, du tenseur métrique, des dérivées premières et secondes de celui-ci qui soit linéaire dans les dérivées secondes du tenseur métrique^{[9],[10],[11]}.

Pour les besoins de la relativité générale, Albert Einstein construit un tenseur de courbure : le tenseur d'Einstein. Il comprend la courbure scalaire. David Hilbert dérive le tenseur d'Einstein à partir d'une action^[4] : l'action d'Einstein-Hilbert. Elle comprend la courbure scalaire. Ni Einstein ni Hilbert ne justifie, par des arguments mathématiques, le choix de la courbure scalaire^[4].

Felix Klein constate qu'il n'existe, dans la littérature mathématique, aucune publication permettant de justifier ce choix^[4]. Il charge son assistant, Hermann Vermeil, de trouver ces arguments mathématiques^[4].

À la suite^[12] des physiciens théoriciens américains Charles W. Misner (1932-2023), Kip S. Thorne et John A. Wheeler (1911-2008), le théorème peut s'énoncer ainsi^[13] :

La courbure scalaire est l'unique invariant de courbure, construit à partir du tenseur de courbure de Riemann et du tenseur métrique, qui :

1. est linéaire dans les dérivées secondes du tenseur métrique ;
2. ne contient pas de dérivées d'ordre supérieur du tenseur métrique ;
3. s'annule dans un espace-temps plat.

De nos jours, le théorème de Vermeil est peu cité car son résultat est compris dans celui d'un théorème postérieur : le théorème de Cartan, publié par le mathématicien français Élie Cartan (1869-1951) en 1922 et établissant l'unicité du tenseur d'Einstein avec constante cosmologique^[14],[15].

• [Vermeil 1914] (de) Hermann Vermeil, Das Näherungsverfahren ${\displaystyle X_{n}=\varphi \left(X_{n-1}\right)}$ und seine Anwendung auf Theorie und Praxis algebraischer und transzendenter Gleichungen, Borna-Leipzig, R. Noske, 1914, 1^re éd., 99 p. (OCLC 9050975, lire en ligne [PDF]).
• [Vermeil 1917] (de) Hermann Vermeil, « Notiz über das mittlere Krümmungsmaß einer ${\displaystyle n}$-fach ausgedehnten Riemann'schen Mannigfaltigkeit », Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse,‎ 1917, p. 334-344 (OCLC 946375662, zbMATH 46.1130.01, S2CID 126115781, lire en ligne [jpg]).

• [Belgiorno, Cacciatori et Faccio 2018] (en) Francesco D. Belgiorno, Sergio L. Cacciatori et Daniele Faccio, Hawking radiation : from astrophysical black holes to analogous systems in lab, Singapour, World Scientific, hors coll., août 2018, 1^re éd., XV-323 p., 15,2 × 22,9 cm (ISBN 978-981-4508-53-7, EAN 9789814508537, OCLC 1077285383, BNF 45335029, DOI 10.1142/8812, Bibcode 2019hrab.book.....B, S2CID 123401959, SUDOC 232451842, présentation en ligne, lire en ligne).
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• [Wuensch 2005] (de) Daniela Wuensch, « Zwei wirkliche Kerle » : Neues zur Entdeckung der Gravitationsgleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie durch Albert Einstein und David Hilbert, Göttingen, Termessos, mars 2005, 1^re éd., 125 p., 15,6 × 24 cm (ISBN 3-938016-04-3, EAN 9783938016046, OCLC 238576509, BNF 41044568, SUDOC 161452035, présentation en ligne, lire en ligne).
• [GTT 1917] (de) Gothaisches genealogisches Taschenbuch der uradeligen Häuser : der in Deutschland eingeborene Adel, Gotha, J. Perthes, 1917, 18^e éd., 1044 p., 10,5 × 15 cm (OCLC 888179672, SUDOC 179977644, lire en ligne).

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