Théorèmes de Guldin

Les théorèmes de Guldin constituent deux énoncés de géométrie euclidienne concernant les solides de révolution établis par le mathématicien suisse Paul Guldin en 1640^[1]. Il est probable que ces résultats étaient déjà connus de Pappus d'Alexandrie, c'est pourquoi on rencontre aussi l'appellation théorèmes de Pappus-Guldin (à ne pas confondre avec le théorème de Pappus).

Ces résultats consistent, sous certaines conditions^[2],[3] :

• en une relation entre l'aire de la surface engendrée par la rotation d'un arc de courbe plane et la position du centre de gravité de ce dernier ;
• en une relation entre le volume du solide engendré par la rotation d'une plaque plane et la position du centre de gravité de cette dernière.

Guldin énonce en 1640^[1] : « Quantitas rotanda in viam rotationis ducta, producit Potestatem Rotundam uno gradu altiorem, Potestate sive Quantitate rotata" », soit « lorsqu'une quantité est conduite sur un chemin de rotation, elle produit une puissance ronde supérieure d'un degré à celle de la quantité tournée ».

Exemples

• L'aire du tore ouvert de rayons ${\displaystyle r}$ et ${\displaystyle R}$ vaut ${\displaystyle {\mathcal {A}}=2\pi *R*\left(2\pi r\right)=4\pi ^{2}rR}$.
• L'aire engendrée par la rotation complète d'un demi-cercle de rayon ${\displaystyle R}$ et de centre de gravité ${\displaystyle G}$ est la sphère d'aire ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\left(2\pi d\right)\left(\pi R\right)=4\pi R^{2}}$. Il vient ${\displaystyle d={2 \over \pi }R}$.

Exemple

Le volume intérieur du tore ouvert de rayons ${\displaystyle r}$ et ${\displaystyle R}$ vaut ${\displaystyle {\mathcal {V}}=2\pi *R*\left(\pi r^{2}\right)=2\pi ^{2}r^{2}R}$.

Inversement, le théorème permet d'obtenir un centre de gravité.

Exemples

• Le solide engendré par la rotation complète d'un demi-disque de rayon ${\displaystyle R}$ et de centre de gravité ${\displaystyle G}$ est la boule de volume ${\displaystyle {\mathcal {V}}=\left(2\pi d\right)\left({\tfrac {1}{2}}\pi R^{2}\right)={\tfrac {4}{3}}\pi R^{3}}$. Il vient ${\displaystyle d={4 \over 3\pi }R}$.
• Le centre de gravité d'une plaque triangulaire rectangle homogène se trouve au tiers des côtés de l'angle droit.

• Le volume de ce tube hélicoïdal à section carrée est égal au produit de l'aire du carré par la longueur de la portion d'hélice décrite par le centre du carré.
• L'aire de ce ruban de Möbius est égale au produit de la longueur du segment qui l'engendre par la longueur du cercle parcouru par son milieu.

Considérons un plan mobile ${\displaystyle P}$ dont un point ${\displaystyle G}$ parcourt une courbe ${\displaystyle C}$, le plan ${\displaystyle P}$ restant constamment perpendiculaire en ${\displaystyle G}$ à la courbe et une figure ${\displaystyle F}$ homogène du plan ${\displaystyle P}$ dont le centre de gravité est ${\displaystyle G}$, la figure ${\displaystyle F}$ ne se recoupant jamais lors du mouvement. Alors si ${\displaystyle F}$ est une courbe, son mouvement engendre une surface ${\displaystyle S}$ vérifiant^[4],[5] :

${\displaystyle {\text{Aire}}(S)={\text{Longueur}}(C)\cdot {\text{Longueur}}(F)}$ (généralisation du premier théorème de Guldin)

Si ${\displaystyle F}$ est une plaque, son mouvement engendre un solide ${\displaystyle S}$ vérifiant^[4],[5] :

${\displaystyle {\text{Volume}}(S)={\text{Longueur}}(C)\cdot {\text{Aire}}(F)}$ (généralisation du deuxième théorème de Guldin)

Ceci est valable quel que soit le mouvement de rotation de ${\displaystyle F}$ autour de son centre de gravité lors du déplacement.

Il existe aussi une généralisation en dimension quelconque^[6].

• (en) Eric W. Weisstein, « Pappus's Centroid Theorem », sur MathWorld.

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