Théorème tangente-sécante

En géométrie euclidienne, le théorème tangente-sécante décrit la relation entre les longueurs des segments de droite créés par une sécante et une tangente avec le cercle associé. Ce résultat se retrouve dans la proposition 36 du livre 3 des Éléments d'Euclide.

Étant donné une sécante $g$ coupant un cercle aux points $G 1$ et $G 2$ et une droite $t$ tangente au cercle au point $T$ , telles que $g$ et $t$ se coupent au point $P$ , on a alors l'égalité suivante :

$|PT|^{2}=|PG_{1}|\cdot |PG_{2}|$

Le théorème tangente-sécante peut être démontré en utilisant des triangles semblables (voir graphique).

Comme le théorème des cordes sécantes et le théorème des sécantes au cercle, le théorème tangente-sécante représente l'un des trois cas fondamentaux d'un théorème plus général concernant deux droites sécantes et un cercle, à savoir le théorème de la puissance du point. En effet, on a : $|PT|^{2}=|PG_{1}|\cdot |PG_{2}|=\mathrm {P} (P)$ où $P$ désigne la puissance du point P par rapport au cercle.

Références

(en) S. Gottwald, The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics, Springer, 2012, 175-176 p. (ISBN 9789401169820, lire en ligne)
(en) Michael L. O'Leary, Revolutions in Geometry, Wiley, 2010, 161 p. (ISBN 9780470591796, lire en ligne)
(de) Schülerduden - Mathematik I, Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, 8. Auflage, Mannheim, 2008, 415-417 p. (ISBN 978-3-411-04208-1)

Liens externes

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Tangent–secant theorem » (voir la liste des auteurs).

Tangent Secant Theorem sur proofwiki.org
Power of a Point Theorem sur cut-the-knot.org
(en) Eric W. Weisstein, « Chord », sur MathWorld

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