Croissance comparée des fonctions logarithmes, puissances et exponentielles

Le théorème des croissances comparées est constitué de quelques résultats de limites de fonctions qui seraient qualifiées de « formes indéterminées » par la méthode usuelle pour la limite d'un produit ou d'un quotient.

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {{\rm {e}}^{x}}{x}}=+\infty ,\quad \lim _{x\to -\infty }x\,{\rm {e}}^{x}=0,}$

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {\ln(x)}{x}}=0,\quad \lim _{x\to 0^{+}}x\ln(x)=0}$

Plus généralement, pour tous réels strictement positifs a et b^[1],

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {{\rm {e}}^{ax}}{x^{b}}}=+\infty \quad (1),\quad \lim _{x\to -\infty }|x|^{b}{\rm {e}}^{ax}=0\quad (2),}$

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {(\ln(x))^{b}}{x^{a}}}=0\quad (3),\quad \lim _{x\to 0^{+}}x^{a}\left|\ln(x)\right|^{b}=0\quad (4).}$

L'hypothèse a > 0 est indispensable. Supposer de plus b > 0 est en fait inutile (pour b ≤ 0, les limites considérées ne sont pas des formes indéterminées).

On peut s'appuyer sur le cas particulier suivant de (1), dont plusieurs preuves sont indiquées dans l'article détaillé : ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad \lim _{y\to +\infty }{\frac {{\rm {e}}^{y}}{y^{n}}}=+\infty .}$ En choisissant n ≥ b, on obtient en effet :

1. en posant y = ax :${\displaystyle \forall x\in [1/a,+\infty [\quad {\frac {{\rm {e}}^{ax}}{x^{b}}}=a^{b}{\frac {{\rm {e}}^{y}}{y^{b}}}\geq a^{b}{\frac {{\rm {e}}^{y}}{y^{n}}},}$
2. en posant y = –ax :${\displaystyle \forall x\in {]-\infty ,-1/a]}\quad 0\leq |x|^{b}{\rm {e}}^{ax}=a^{-b}{y^{b}}{\rm {e}}^{-y}\leq a^{-b}\left/\left({\frac {{\rm {e}}^{y}}{y^{n}}}\right)\right.,}$
3. en posant y = a lnx :${\displaystyle \forall x\in [{\rm {e}}^{1/a},+\infty [\quad 0\leq {\frac {(\ln(x))^{b}}{x^{a}}}=a^{-b}{\frac {y^{b}}{{\rm {e}}^{y}}}\leq a^{-b}\left/\left({\frac {{\rm {e}}^{y}}{y^{n}}}\right)\right.,}$
4. en posant y = –a lnx :${\displaystyle \forall x\in {]0,{\rm {e}}^{-1/a}]}\quad 0\leq x^{a}\left|\ln(x)\right|^{b}=a^{-b}{\rm {e}}^{-y}y^{b}\leq a^{-b}\left/\left({\frac {{\rm {e}}^{y}}{y^{n}}}\right)\right..}$

Chacune des quatre limites peut aussi se déduire de n'importe laquelle des trois autres par changement de variable.

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