Théorème de Wolstenholme

Le théorème de Wolstenholme est un résultat arithmétique sur les coefficients binomiaux, démontré en 1862 par Joseph Wolstenholme. Il énonce que pour tout nombre premier ${\displaystyle p\geqslant 5}$, on a :

${\displaystyle {{2p-1} \choose {p-1}}\equiv 1{\pmod {p^{3}}}}$

Par exemple pour ${\displaystyle p=7}$, ${\displaystyle {13 \choose 6}=1716=1+7^{3}\times 5\equiv 1{\pmod {7^{3}}}}$.

La congruence analogue modulo ${\displaystyle p^{2}}$ avait été démontrée en 1819 par Charles Babbage.

La preuve originelle de Wolstenholme n'utilise que des calculs algébriques élémentaires. Il montre d'abord que si ${\displaystyle \sum _{k=1}^{p-1}{\frac {1}{k}}}$ (respectivement ${\displaystyle \sum _{k=1}^{p-1}{\frac {1}{k^{2}}}}$) est écrit sous forme d'une fraction d'entiers, alors le numérateur de cette fraction est divisible par ${\displaystyle p^{2}}$ (resp. ${\displaystyle p}$). Il déduit enfin son théorème de ces deux résultats. Ceux-ci sont parfois aussi intégrés dans le théorème.

Comme pour le théorème de Wilson : ${\displaystyle (n-1)!\equiv -1{\pmod {n}}}$ , qui constitue une condition nécessaire et suffisante pour que ${\displaystyle n\geqslant 2}$ soit premier, on conjecture que ${\displaystyle {{2n-1} \choose {n-1}}\equiv 1{\pmod {n^{3}}}}$ constitue une condition nécessaire et suffisante pour que ${\displaystyle n\geqslant 5}$ soit premier, car cette propriété est vraie jusqu'à ${\displaystyle n=10^{11}}$^[1], mais cette conjecture n'est pas prouvée ^[2].

• Le théorème de Lucas qui donne ${\displaystyle {\binom {2p-1}{p-1}}\equiv {\binom {1}{0}}{\binom {p-1}{p-1}}=1{\pmod {p}}}$.
• Les nombres premiers de Wieferich, vérifiant ${\displaystyle 2^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}}$.

• (en) C. Babbage, « Demonstration of a theorem relating to prime numbers », The Edinburgh Philosophical Journal, vol. 1,‎ 1819, p. 46-49 (lire en ligne)
• (en) J. Wolstenholme, « On certain properties of prime numbers », The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, vol. 5,‎ 1862, p. 35-39 (lire en ligne)
• (en) J. W. L. Glaisher, « Congruences relating to the sums of products of the first n numbers and to other sums of products », Quart. J. Pure Appl. Math. (en), vol. 31,‎ 1900, p. 1-35 (lire en ligne)
• (en) J. W. L. Glaisher, « On the residues of the sums of products of the first p – 1 numbers, and their powers, to modulus p² or p³ », Quart. J. Pure Appl. Math., vol. 31,‎ 1900, p. 321-353 (lire en ligne)

• Arithmétique et théorie des nombres