Théorème de Kato-Rellich

Le théorème de Kato-Rellich est un théorème mathématique en analyse fonctionnelle. Il est nommé d'après le mathématicien japonais Tosio Kato et le mathématicien allemand Franz Rellich.

Soit ${\displaystyle H}$ un espace de Hilbert complexe avec produit scalaire noté ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ et norme associée ${\displaystyle \Vert \cdot \Vert :={\sqrt {\langle \cdot ,\cdot \rangle }}}$ . On utilise la terminologie suivante :

• Un opérateur linéaire dense est une application linéaire ${\displaystyle A\colon {\mathcal {D}}(A)\to H}$ où ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)\subset H}$ est un sous-espace linéaire dense de ${\displaystyle H}$. Ces opérateurs peuvent être bornés ou non.
• Un opérateur linéaire dense ${\displaystyle A\colon {\mathcal {D}}(A)\to H}$ est symétrique si ${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle }$ pour tout ${\displaystyle x,\,y\in {\mathcal {D}}(A)}$.
• L'opérateur adjoint d'un opérateur linéaire dense ${\displaystyle A\colon {\mathcal {D}}(A)\to H}$ est défini comme suit. On définit l'espace ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A^{\ast })\subset H}$ comme l'ensemble des éléments ${\displaystyle x\in {\mathcal {D}}(A)}$, pour lesquels la fonctionnelle linéaire ${\displaystyle L_{x}:{\mathcal {D}}(A)\to H}$, donnée par ${\displaystyle L_{x}(y):=\langle x,Ay\rangle }$ pour ${\displaystyle y\in {\mathcal {D}}(A)}$ est une fonction continue. Comme le domaine de définition ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)}$ est dense, cette fonctionnelle se prolonge à ${\displaystyle H}$. Il en résulte, par le théorèmme de Fréchet-Riesz qu'il existe un élément unique ${\displaystyle z\in H}$ avec ${\displaystyle L_{x}(y)=\langle z,y\rangle }$. On pose ${\displaystyle A^{\ast }x:=z}$ et on obtient insi un opérateur ${\displaystyle A^{\ast }:{\mathcal {D}}(A^{\ast })\to H}$ avec la propriété ${\displaystyle \langle A^{\ast }x,y\rangle =\langle x,Ay\rangle }$ pour tout ${\displaystyle x\in {\mathcal {D}}(A^{\ast })}$ et pour tout ${\displaystyle y\in {\mathcal {D}}(A)}$.
• Un opérateur linéaire dense ${\displaystyle A:{\mathcal {D}}(A)\to H}$ est auto-adjoint si et ${\displaystyle A}$ est symétrique et ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A^{\ast })={\mathcal {D}}(A)}$.

Le théorème utilise la notion d'opérateur relativement borné qui est défini comme suit :

Soient ${\displaystyle A:{\mathcal {D}}(A)\to H}$ et ${\displaystyle B:{\mathcal {D}}(B)\to H}$ deux opérateurs linéaires denses. On dit que ${\displaystyle B}$ est relativement limité par rapport à ${\displaystyle A}$ ou plus simplement que ${\displaystyle B}$ est ${\displaystyle A}$-limité si ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)\subset {\mathcal {D}}(B)}$ et s'il existe deux nombres réels positifs ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle b}$ tels que l’ inégalité suivante est satisfaite pour tous ${\displaystyle x\in {\mathcal {D}}(A)}$  :

${\displaystyle \Vert Bx\Vert \leq a\Vert Ax\Vert +b\Vert x\Vert }$

Le plus petit ${\displaystyle a}$, pour lequel un nombre ${\displaystyle b}$ existe qui satisfait l’inégalité ci-dessus s’applique pour tout ${\displaystyle x\in {\mathcal {D}}(A)}$, est appelée la limite relative de ${\displaystyle B}$ par rapport à ${\displaystyle A}$ .

L'opérateur ${\displaystyle A+B:{\mathcal {D}}(A)\to H}$ est évidemment bien défini parce que ${\displaystyle {\mathcal {D}}(A)\subset {\mathcal {D}}(B)}$. De plus, il est symétrique par hypothèse. Or un opérateur symétrique ${\displaystyle T:{\mathcal {D}}(T)\to H}$ est auto-adjoint si et seulement s'il existe un ${\displaystyle \mu >0}$ pour lequel ${\displaystyle \mathrm {Im} (T\pm i\mu )=H}$, où ${\displaystyle \mathrm {Im} (T)}$ désigne l'image de ${\displaystyle T}$. Il suffit donc de montrer qu'il existe un ${\displaystyle \mu >0}$ pour lequel on a ${\displaystyle \mathrm {Im} (A+B\pm i\mu )=H}$.

Soit ${\displaystyle \mu \in \mathbb {R} }$. L'idée de la preuve du théorème de Kato-Rellich est d'exprimer l'opérateur ${\displaystyle A+B+i\mu }$ sous la forme

${\displaystyle A+B+i\mu =(1+B(A+i\mu )^{-1})(A+i\mu )}$ .

Ceci est possible en raison de l'hypothèse que ${\displaystyle A\colon {\mathcal {D}}(A)\to H}$ est auto-adjoint et donc que ${\displaystyle (A+i\mu )^{-1}}$ existe. Comme de plus ${\displaystyle \mathrm {Im} (A+i\mu )=H}$, il suffit de montrer que ${\displaystyle (1+B(A+i\mu )^{-1})}$ possède un opérateur inverse borné.

Par hypothèse, on a, pour tout ${\displaystyle x\in H}$, l'inégalité

${\displaystyle \Vert B(A+i\mu )^{-1}x\Vert \leq a\Vert A(A+i\mu )^{-1}x\Vert +b\Vert (A+i\mu )^{-1}x\Vert }$ .

De plus, pour tout ${\displaystyle y\in {\mathcal {D}}(A)}$, on a l'égalité ${\displaystyle \Vert (A+i\mu )y\Vert ^{2}=\Vert Ay\Vert ^{2}+\mu ^{2}\Vert y\Vert ^{2}}$ et donc, pour ${\displaystyle y=(A+i\mu )^{-1}x}$,

${\displaystyle \Vert A(A+i\mu )^{-1}x\Vert \leq \Vert x\Vert }$ et ${\displaystyle \Vert (A+i\mu )^{-1}x\Vert \leq {\frac {1}{\vert \mu \vert }}\Vert x\Vert }$ .

En combinant ces inégalités, on a pour tout ${\displaystyle x\in H}$ l'inégalité

${\displaystyle \Vert B(A+i\mu )^{-1}x\Vert \leq {\bigg (}a+{\frac {b}{\vert \mu \vert }}{\bigg )}\Vert x\Vert }$ .

Comme ${\displaystyle a<1}$, on peut choisir, ${\displaystyle \mu }$ suffisamment grand pour que ${\displaystyle {\bigg (}a+{\frac {b}{\vert \mu \vert }}{\bigg )}<1}$, ce qui donne l'inégalité

${\displaystyle \Vert B(A+i\mu )^{-1}x\Vert <1}$

pour tout ${\displaystyle x\in H}$. Il s'ensuit que ${\displaystyle (1+B(A+i\mu )^{-1})}$ est inversible avec un opérateur inverse borné. Ceci prouve que ${\displaystyle \mathrm {Im} (A+B+i\mu )=H}$.

Le théorème de Kato-Rellich est utilisé, par exemple, en mécanique quantique :

Soient ${\displaystyle V=V_{1}+V_{2}}$ avec ${\displaystyle V_{1}\in L^{2}(\mathbb {R} ^{3})}$ et ${\displaystyle V_{2}\in L^{\infty }(\mathbb {R} ^{3})}$ . Alors on peut montrer, en utilisant le théorème de Kato-Rellich, que l'opérateur hamiltonien ${\displaystyle H:=-\Delta +V}$ est auto-adjoint, ${\displaystyle V}$ étant relativement limité par rapport à l'opérateur laplacien ${\displaystyle \Delta }$ si l'on prend comme domaine de définition de ${\displaystyle H^{2}(\mathbb {R} ^{3})}$ l'espace de Sobolev.

• Leon Armenovich Takhtadzhi︠a︡n, Quantum mechanics for mathematicians, American Mathematical Society, coll. « Graduate studies in mathematics » (n^o 95),‎ 2008 (ISBN 978-0-8218-4630-8)
• Gerald Teschl, Mathematical methods in quantum mechanics: with applications to Schrödinger operators, American Mathematical Society, coll. « Graduate studies in mathematics » (n^o 99), 2014 (ISBN 978-1-4704-1704-8)

• (de) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en allemand intitulé « Satz von Kato-Rellich » (voir la liste des auteurs).

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