Théorème de Green

En mathématiques, le théorème de Green, ou théorème de Green-Riemann, donne la relation entre une intégrale curviligne le long d'une courbe simple fermée orientée C¹ par morceaux et une intégrale double sur la région du plan délimitée par cette courbe.

Ce théorème, tirant son nom des mathématiciens George Green et Bernhard Riemann, est un cas particulier du théorème de Stokes.

Soit C une courbe plane simple, positivement orientée et C¹ par morceaux, D le compact du plan délimité par C et Pdx + Qdy une 1-forme différentielle sur ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$. Si P et Q ont des dérivées partielles continues sur une région ouverte incluant D, alors :

${\displaystyle \int _{C}P\,\mathrm {d} x+Q\,\mathrm {d} y=\iint _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\mathrm {d} y.}$

Vu comme cas particulier du théorème de Stokes, le théorème s'écrit sous la forme suivante, en notant ∂D la courbe ${\displaystyle C}$ et ω la forme différentielle. Alors, la dérivée extérieure de ω s'écrit :

${\displaystyle \mathrm {d} \omega =\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}$

et le théorème de Green se résume par :

${\displaystyle \oint _{\partial D}\omega =\iint _{D}\mathrm {d} \omega .}$

Le cercle sur l'intégrale précise que le bord ∂D est une courbe fermée (orientée). Changer l'orientation de la courbe change le signe de l'intégrale curviligne. L'orientation du bord ∂D se fait intuitivement de telle façon qu'un point le parcourant doit avoir le domaine D constamment sur sa gauche.

On peut aussi interpréter ${\displaystyle \oint _{\partial D}\omega }$ comme la circulation du champ de vecteurs ${\displaystyle P\,{\vec {\imath }}+Q\,{\vec {\jmath }}}$ défini sur un ouvert du plan contenant D.

Montrons que ${\displaystyle \iint _{D}-{\frac {\partial P}{\partial y}}(x,y)\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\int _{\partial D}P\,\mathrm {d} x}$ en supposant que le domaine D peut être décrit par :

${\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ ;\ a\leqslant x\leqslant b\ {\text{ et }}\ f(x)\leqslant y\leqslant g(x)\}}$

où f et g sont des fonctions de classe C¹ sur [a, b] qui coïncident en a et b.

Le théorème de Fubini donne :

${\displaystyle \iint _{D}-{\frac {\partial P}{\partial y}}(x,y)\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\int _{a}^{b}\left(\int _{f(x)}^{g(x)}-{\frac {\partial P}{\partial y}}(x,y)\,\mathrm {d} y\right)\mathrm {d} x}$

Or ${\displaystyle \int _{f(x)}^{g(x)}-{\frac {\partial P}{\partial y}}(x,y)\,\mathrm {d} y=P(x,f(x))-P(x,g(x))}$, de sorte que :

${\displaystyle \iint _{D}-{\frac {\partial P}{\partial y}}(x,y)\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\int _{a}^{b}P(x,f(x))-P(x,g(x))\,\mathrm {d} x.}$

Or l'arc orienté ${\displaystyle \partial D}$ peut être décomposé en deux sous-arcs :

${\displaystyle t\longmapsto (t,f(t))}$ où t croît de a à b

et ${\displaystyle t\longmapsto (t,g(t))}$ où t décroît de b à a.

L'intégrale curviligne ${\displaystyle \int _{\partial D}P\,\mathrm {d} x}$ est donc :

${\displaystyle \int _{a}^{b}P(t,f(t))\,\mathrm {d} t+\int _{b}^{a}P(t,g(t))\,\mathrm {d} t=\int _{a}^{b}P(t,f(t))-P(t,g(t))\,\mathrm {d} t}$ qui est bien l'expression obtenue ci-dessus.

On montre de même que ${\displaystyle \iint _{D}{\frac {\partial Q}{\partial x}}(x,y)\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\int _{\partial D}Q\,\mathrm {d} y}$ en supposant que le domaine D peut être décrit comme étant :

${\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ ;\ c\leqslant y\leqslant d\ {\text{ et }}\ \phi (y)\leqslant x\leqslant \psi (y)\}}$

où ϕ et ψ sont des fonctions de classe C¹ sur [c, d] qui coïncident en c et d :

${\displaystyle \iint _{D}{\frac {\partial Q}{\partial x}}(x,y)\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\int _{c}^{d}\int _{\phi (y)}^{\psi (y)}{\frac {\partial Q}{\partial x}}(x,y)\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\int _{c}^{d}Q(\psi (y),y)-Q(\phi (y),y)\,\mathrm {d} y=\int _{\partial D}Q\,\mathrm {d} y.}$

Le théorème de Green permet notamment de démontrer le lemme de Poincaré, ainsi que le théorème intégral de Cauchy pour les fonctions holomorphes.

L'utilisation du théorème de Green permet de calculer l'aire délimitée par une courbe paramétrée fermée. Cette méthode est concrètement appliquée dans les planimètres.

Soit ${\displaystyle D}$ un domaine du plan auquel le théorème de Green s'applique et soit ${\displaystyle C=\partial D}$ sa frontière, orientée positivement par rapport à ${\displaystyle D}$. On a :

${\displaystyle {\mathcal {A}}(D)=\iint _{D}\mathrm {d} x\mathrm {d} y=\int _{C}-y\mathrm {d} x=\int _{C}x\mathrm {d} y={\frac {1}{2}}\int _{C}-y\mathrm {d} x+x\mathrm {d} y}$

en prenant respectivement ${\displaystyle \left(P(x,y),Q(x,y)\right)}$ égal à ${\displaystyle (-y,0)}$, ou bien ${\displaystyle (0,x)}$, ou enfin ${\displaystyle (-y/2,x/2)}$, chacun de ces trois cas vérifiant ${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}=1.}$

On traite ici l'exemple d'une astroïde, dont le bord ${\displaystyle C}$ est paramétré par :

${\displaystyle t\mapsto (\cos ^{3}t,\sin ^{3}t),}$

t variant de 0 à 2π. En prenant ${\displaystyle P(x,y)\,\mathrm {d} x=-{\frac {y}{2}}\,\mathrm {d} x={\frac {3}{2}}\sin ^{4}t\cos ^{2}t\,\mathrm {d} t}$ et ${\displaystyle Q(x,y)\,\mathrm {d} y={\frac {x}{2}}\,\mathrm {d} y={\frac {3}{2}}\cos ^{4}t\sin ^{2}t\,\mathrm {d} t}$, on obtient :

${\displaystyle {\mathcal {A}}(D)={\frac {1}{2}}\int _{\mathcal {C}}-y\mathrm {d} x+x\mathrm {d} y={\frac {3}{2}}\int _{0}^{2\pi }\cos ^{2}t\sin ^{2}t\,\mathrm {d} t.}$

Après linéarisation, on en déduit que l'aire de l'astroïde est égale à 3π/8.

Pour un polygone simple à n sommets P₀, P₁, … , P_n = P₀ numérotés dans le sens trigonométrique positif, avec P_i = (x_i , y_i), on obtient^[1]:

${\displaystyle {\mathcal {A}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}+x_{i-1})\,(y_{i}-y_{i-1})=-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})\,(y_{i}+y_{i-1})}$

ou encore

${\displaystyle {\mathcal {A}}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i-1}\,y_{i}-x_{i}\,y_{i-1}),}$

expression qui peut s'interpréter comme la somme des aires des triangles OP_i–1P_i.

Note : dans la première relation, on observe qu'une translation ne modifie pas l'aire.

• (en) K.K. Roy, Potential Theory in Applied Geophysics, Berlin, Heidelberg, Springer, 2008 (DOI 10.1007/978-3-540-72334-9_10)
• (en) Paul J. Cohen, « On Green's Theorem », Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 10, n^o 1,‎ 1959, p. 109–112 (DOI 10.2307/2032897) 

• (en) Eric W. Weisstein, « Green's Theorem », sur MathWorld

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