Théorème de Friedlander-Iwaniec

En théorie des nombres, le théorème de Friedlander–Iwaniec affirme qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme ${\displaystyle a^{2}+b^{4}}$.

Voici ces nombres, en dessous de 1000 : 2, 5, 17, 37, 41, 97, 101, 137, 181, 197, 241, 257, 277, 281, 337, 401, 457, 577, 617, 641, 661, 677, 757, 769, 821, 857, 881, 977 (suite A028916 de l'OEIS).

La difficulté du résultat réside dans le caractère clairsemé de cette suite : le nombre d'entiers premiers de la forme ${\displaystyle a^{2}+b^{4}}$ plus petits que ${\displaystyle n}$ est de l'ordre de ${\displaystyle n^{3/4}}$.

Ce théorème a été prouvé en 1997 par John Friedlander et Henryk Iwaniec^[1]. Iwaniec a reçu en 2001 le prix Ostrowski en partie pour sa contribution à ce travail^[2].

Quand b = 1, les nombres premiers de Friedlander–Iwaniec sont de la forme ${\displaystyle a^{2}+1}$, et forment la suite :

2, 5, 17, 37, 101, 197, 257, 401, 577, 677, 1297, 1601, 2917, 3137, 4357, 5477, 7057, 8101, 8837, 12101, 13457, 14401, 15377, …, suite A002496 de l'OEIS.

On conjecture que cette suite est infinie (c'est l'un des problèmes de Landau), ce qui ne résulte pas du théorème de Friedlander–Iwaniec.

${\displaystyle 2017=44^{2}+3^{4}}$ est un nombre premier de Friedlander-Iwaniec, ce qui n'était pas arrivé depuis ${\displaystyle 1777=39^{2}+4^{4}}$, année de naissance de Gauss. L'antéprécédent est ${\displaystyle 1657=19^{2}+6^{4}}$, année où Bernard Frénicle de Bessy publia la découverte du nombre taxicab ${\displaystyle {\text{Ta}}(2)=1729}$. Le précédent est alors ${\displaystyle 1601=40^{2}+1^{4}}$, année de naissance de Fermat. Le prochain après 2017 est ${\displaystyle 2069=38^{2}+5^{4}}$, année érotique selon Serge Gainsbourg et Jane Birkin.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Friedlander–Iwaniec theorem » (voir la liste des auteurs).

• Arithmétique et théorie des nombres