Théorème de Birkhoff-Grothendieck

Le théorème de Birkhoff-Grothendieck est un résultat fondamental de géométrie algébrique qui classifie les fibrés vectoriels holomorphes sur la droite projective complexe.

Théorème (Birkhoff-Grothendieck) : Tout fibré vectoriel holomorphe ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ sur ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ est holomorphiquement isomorphe à une somme directe de fibrés en droites :

${\displaystyle {\mathcal {E}}\cong {\mathcal {O}}(a_{1})\oplus \cdots \oplus {\mathcal {O}}(a_{n})}$

La représentation ci-dessus est unique à permutation des facteurs près. Le théorème fut démontré par Alexander Grothendieck (1957, Théorème 2.1), et est plus ou moins équivalent à la factorisation de Birkhoff introduite par George David Birkhoff (1909).

Le même résultat vaut en géométrie algébrique pour les fibrés vectoriels algébriques sur ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ pour tout corps ${\displaystyle k}$.

Une application de ce théorème est la classification de tous les faisceaux cohérents sur ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$. Nous avons deux cas : les fibrés vectoriels et les faisceaux cohérents supportés le long d'une sous-variété, donc ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{n\cdot p}}$ où ${\displaystyle n}$ est le degré du point en ${\displaystyle p}$. Puisque les seules sous-variétés sont des points, nous avons une classification complète des faisceaux cohérents.

Les travaux de George David Birkhoff (1909) sur les points singuliers des équations différentielles linéaires ordinaires introduisirent la factorisation de Birkhoff, portant sur certaines matrices holomorphes inversibles. Etant donné un fibré vectoriel holomorphe sur ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$, on peut l'exprimer par des fonctions de transition, et la factorisation de Birkhoff de ces fonctions mène directement à la décomposition en somme directe de fibrés en droites.

Alexander Grothendieck (1957) généralise la classification aux fibrés holomorphes dans son travail sur la sphère de Riemann.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Birkhoff–Grothendieck theorem » (voir la liste des auteurs).
• Alexander Grothendieck, « Sur la classification des fibrés holomorphes sur la sphère de Riemann », American Journal of Mathematics, vol. 79, n^o 1,‎ 1957, p. 121-138 (DOI 10.2307/2372388, JSTOR 2372388)

• George David Birkhoff, « Singular points of ordinary linear differential equations », Transactions of the American Mathematical Society, vol. 10, n^o 4,‎ 1909, p. 436-470 (DOI 10.2307/1988594, JSTOR 1988594)

• Michiel Hazewinkel et Clyde F. Martin, « A short elementary proof of Grothendieck's theorem on algebraic vectorbundles over the projective line », Journal of Pure and Applied Algebra, vol. 25, n^o 2,‎ 1982, p. 207-211 (DOI 10.1016/0022-4049(82)90037-8)

• Christian Okonek, Michael Schneider et Heinz Spindler, Vector Bundles on Complex Projective Spaces, Birkhäuser Basel, coll. « Modern Birkhäuser Classics », 1980 (ISBN 978-3-0348-0150-8, DOI 10.1007/978-3-0348-0151-5)

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