Théorème d'Alasia

Le théorème d'Alasia (it) concerne la géométrie du triangle. Il met en relation les côtés d'un triangles et ses point de Brocard. Il s'énonce comme suit^[1]:

Soient ${\displaystyle \Omega }$, ${\displaystyle \Omega '}$ les points de Brocard du triangle ${\displaystyle ABC}$,

${\displaystyle (\Omega \Omega ')/\!/(AB)\Longleftrightarrow BC=AC}$.

En notant respectivement ${\displaystyle a,b,c}$ les longueurs ${\displaystyle BC,AC,AB}$, les points ${\displaystyle \Omega ,\Omega '}$ ont alors pour coordonnées barycentriques ${\textstyle \left({\frac {1}{b^{2}}};{\frac {1}{c^{2}}};{\frac {1}{a^{2}}}\right)}$ et ${\textstyle \left({\frac {1}{c^{2}}};{\frac {1}{a^{2}}};{\frac {1}{b^{2}}}\right)}$ respectivement. Ainsi, ${\textstyle {\vec {\Omega \Omega '}}}$ est colinéaire à ${\displaystyle b^{2}(c^{2}-a^{2}){\vec {AB}}+c^{2}(a^{2}-b^{2}){\vec {AC}}}$.

Si ${\displaystyle a=b}$ alors ${\textstyle {\vec {\Omega \Omega '}}}$ est colinéaire à ${\displaystyle b^{2}(c^{2}-a^{2}){\vec {AB}}}$. Donc ${\textstyle (\Omega \Omega ')}$ est parallèle à ${\displaystyle (AB)}$. Réciproquement si ${\textstyle (\Omega \Omega ')}$ est parallèle à ${\displaystyle (AB)}$, comme ${\textstyle {\vec {\Omega \Omega '}}}$ est colinéaire à ${\displaystyle b^{2}(c^{2}-a^{2}){\vec {AB}}+c^{2}(a^{2}-b^{2}){\vec {AC}}}$, on a ${\displaystyle c^{2}(a^{2}-b^{2}){\vec {AC}}={\vec {0}}}$ donc ${\displaystyle a=b}$^[2].

Une autre démonstration utilise les propriétés du point de Lemoine^[3].

• (it) Cristóforo Alasia, I complementi di Geometrica elementare, Ulrico Hoepli, 1903, 224 p.

• (en) Florentin Smarandache et Ion Patrascu, The Geometry of Homological Triangles, 7 avril 2012, 243 p. (lire en ligne [PDF])

• Points de Brocard

• La géométrie du triangle II : Points caractéristiques

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