Théorème KAM

Le théorème KAM est un théorème de mécanique hamiltonienne qui affirme la persistance de tores invariants sur lesquels le mouvement est quasi périodique, pour les perturbations de certains systèmes hamiltoniens.

Il doit son nom aux initiales de trois mathématiciens qui ont donné naissance à la théorie KAM : Kolmogorov, Arnold et Moser. Kolmogorov annonça un premier résultat en 1954, mais il ne donna que les grandes lignes de sa démonstration. Le théorème de Kolmogorov fut démontré rigoureusement en 1963 par Arnold. Moser obtint au même moment un théorème de type KAM dans un cadre différentiable.

On pensait autrefois que l'hypothèse ergodique de Boltzmann s'appliquait à tous les systèmes dynamiques non-intégrables. Le théorème KAM met en défaut cette hypothèse, comme c'était déjà le cas avec le résultat de l'expérience de Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou (1953). En effet, le théorème KAM nous apprend que la perturbation d'un système intégrable ne conduit pas nécessairement à un système ergodique, mais que des tores invariants peuvent subsister dans des régions de mesure finie de l'espace des phases, correspondant à des îlots où la dynamique du système perturbé reste quasi périodique.

En mécanique céleste newtonienne, dans le cadre du problème, restreint et circulaire, à trois corps isolés en interaction gravitationnelle, le théorème KAM est utilisé pour établir tant l'instabilité de trois (L1, L2 et L3) des cinq points de Lagrange que la stabilité des deux autres (L4 et L5)[1],[2]. Au XIXe siècle, Joseph Liouville avait établi dès l'instabilité des trois premiers points (L1, L2 et L3) dès  ; puis Gabriel Gascheau en et, indépendamment de lui, Edward J. Routh en , la condition de stabilité de deux autres (L4 et L5)[3],[4].

Notes et références

  1. ↑ Trélat 2022.
  2. ↑ Dumas et Bobin 1998, annexe no 2, § 4, p. 27, col. 1.
  3. ↑ Nauenberg 2010, sec. 6.3, p. 130, n. 27.
  4. ↑ Robutel et Souchay 2010, sec. 3, p. 198.

Voir aussi

Bibliographie

 : document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

  • [Arnold 1963] (en) Vladimir I. Arnold (trad. du russe), « Proof of a theorem of A. N. Kolmogorov on the invariance of quasi-periodic motions under small perturbations of the Hamiltonian » [« Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике »], Russian Mathematical Surveys, vol. 18, no 5,‎ , p. 9-36 (OCLC 4843861952, DOI 10.1070/RM1963v018n05ABEH004130, Bibcode 1963RuMaS..18....9A, zbMATH 0129.16606, S2CID 250913544, lire en ligne [PDF]).
  • [Bois 2003] Éric Bois, « Systèmes planétaires : du chaos à la stabilité », Pour la science, no 314,‎ , p. 152-156 (lire en ligne ).
  • [Dumas et Bobin 1998] Christelle Dumas et Michel Bobin, « Stabilité et mécanique céleste », Les Cahiers Clairaut, no 83,‎ , p. 22-27 (lire en ligne [PDF]). 
  • [Burke-Hubbard et Hubbard 1993] Barbara Burke-Hubbard et John Hubbard, « Loi et ordre dans l'Univers : le théorème KAM », Pour la science, no 188,‎ , p. 74-82.
  • [Nauenberg 2010] (en) Michael Nauenberg (trad. du français par Joshua P. Bowman), « Periodic orbits of the three-body problem : early history, contributions of Hill and Poincaré, and some recent developments », dans Éric Charpentier, Étienne Ghys et Annick Lesne (dir. et introd.), The scientific legacy of Poincaré [« L'héritage scientifique de Poincaré »], Providence et Londres, AMS et LMS, coll. « History of mathematics » (no 36), , XIII-391 p., 18,4 × 26,7 cm (ISBN 978-0-8218-4718-3, EAN 9780821847183, OCLC 624430836, DOI 10.1090/hmath/036, MR 2605614, S2CID 117010721, SUDOC 142649813, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 6, p. 113-142. 
  • [Robutel et Souchay 2010] (en) Philippe Robutel et Jean Souchay, « An introduction to the dynamics of trojan asteroids », dans Jean Souchay et Rudolf Dvorak (dir. et préf.), Dynamics of small solar system bodies and exoplanets, Berlin et Heidelberg, Springer, coll. « Lecture notes in physics » (no 790), (réimpr. ), IX-517 p., 16 × 24 cm (ISBN 978-3-642-04457-1 et 978-3-642-26283-8, EAN 9783642044571, OCLC 665137746, BNF 44698759, DOI 10.1007/978-3-642-04458-8, Bibcode 2010LNP...790.....S, S2CID 118089049, SUDOC 143103733, lire en ligne [PDF]), chap. 4, p. 195-227. 
  • [Trélat 2022] Emmanuel Trélat, « Les courants de gravité : un ticket gratuit pour l'exploration spatiale », La Recherche, no 569,‎ , p. 72-81 (lire en ligne ). 
  • Vladimir I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer-Verlag (2e édition-1989) (ISBN 0-387-96890-3).
    Une synthèse de l'état de l'art en mécanique analytique (formalismes Lagrangien & Hamiltonien) avec l'accent mis sur l'interprétation géométrique de ces formalismes, par l'un des plus brillants mathématiciens du domaine. À partir du second cycle universitaire.
  • Vladimir I. Arnold, V.V. Kozlov & A.I. Neishtadt, Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, Springer-Verlag (2e édition-1993).
  • Henk W. Broer, KAM Theory: The Legacy of Kolmogorov's 1954 Paper, Bulletin of the American Mathematical Society 41(4) (2004), 507-521. Texte disponible en ligne.
  • Jacques Féjoz, Introduction to KAM Theory, en ligne.
  • Mauricio Garay, Théorie KAM, en ligne.
  • Kolmogorov-Arnold-Moser theory from Scholarpedia.

Articles connexes

  • Portail de la physique
  • Portail des mathématiques
Cet article est issu de Wikipédia. Sauf mention contraire, le texte est disponible sous licence Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0. Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.