Système quater-imaginaire

Le système de numération quater-imaginaire fut proposé en premier par Donald Knuth en 1955, lors d'une soumission à une recherche de talent scientifique au lycée. C'est un système positionnel non standard (en) car à base complexe (en), qui utilise comme base le nombre imaginaire pur 2i. Il peut représenter chaque nombre complexe en utilisant seulement les chiffres 0, 1, 2 et 3 (les réels négatifs, dont la représentation dans un système standard utilise le signe moins, sont représentables en quater-imaginaire par une simple suite de chiffres).

• Deux exemples d'entiers :

${\displaystyle -31_{10}=d_{0}+d_{2}(2{\rm {i}})^{2}+d_{4}(2{\rm {i}})^{4}+d_{6}(2{\rm {i}})^{6}+\dots =d_{0}-4d_{2}+16d_{4}-64d_{6}+\dots \Leftrightarrow }$

${\displaystyle d_{0}=1,\quad 8_{10}=d_{2}-4d_{4}+16d_{6}-\dots \Leftrightarrow }$

${\displaystyle d_{0}=1,\quad d_{2}=0,\quad -2_{10}=d_{4}-4d_{6}+\dots \Leftrightarrow }$

${\displaystyle d_{0}=1,\quad d_{2}=0,\quad d_{4}=2,\quad d_{6}=1,\quad d_{8}=\dots =0}$

donc

${\displaystyle -31_{10}=1020001_{2{\rm {i}}}.}$

De même, ${\displaystyle 15_{10}=10103_{2{\rm {i}}}.}$

• La conversion d'un nombre dyadique se ramène à celle d'un entier :

${\displaystyle {\frac {31}{4}}=-31(2{\rm {i}})^{-2}=10200{,}01_{2{\rm {i}}}.}$

• La conversion du produit par i d'un nombre dyadique aussi :

${\displaystyle -{\frac {15{\rm {i}}}{2}}=15(2{\rm {i}})^{-1}=1010{,}3_{2{\rm {i}}}.}$

• La partie réelle et la partie imaginaire s'additionnent :

${\displaystyle {\frac {31}{4}}-{\frac {15}{2}}{\rm {i}}=10200{,}01_{2{\rm {i}}}+1010{,}3_{2{\rm {i}}}=11210{,}31_{2{\rm {i}}}.}$

• (en) D. Knuth, The Art of Computer Programming, vol. 2, 3^e éd., Addison-Wesley, p. 205, « Positional Number Systems »

• Arithmétique et théorie des nombres