Suite harmonique

En mathématiques, une suite harmonique est une suite dont chaque terme est la moyenne harmonique des termes précédent et suivant. Une condition équivalente est que son inverse soit une suite arithmétique.

Une suite harmonique est une suite réelle ${\displaystyle (u_{n})_{n\geqslant n_{0}}}$ telle qu'il existe un nombre ${\displaystyle \ r}$ appelé raison pour lequel :

${\displaystyle \forall n\geqslant n_{0}\,\ \ {\frac {1}{u_{n+1}}}={\frac {1}{u_{n}}}+r\,}$

soit :

${\displaystyle \forall n\geqslant n_{0}\,\ \ u_{n+1}={\frac {u_{n}}{ru_{n}+1}}\,}$

Il s'agit donc d'une suite homographique.

Par exemple pour ${\displaystyle u_{0}=12,r=1/12}$, la suite prend les valeurs 12, 6, 4, 3, 12/5, 2, 12/7,... , suite visualisée ci-contre.

En notant ${\displaystyle a={\frac {1}{u_{n_{0}}}}-n_{0}r}$ :

${\displaystyle \forall n\geqslant n_{0}\,\ \ \ u_{n}={\frac {1}{a+nr}}\,}$

Dans l'exemple précédent, ${\displaystyle u_{n}={\frac {12}{n+1}}}$.

Autre exemple^[1] : la suite harmonique ${\displaystyle \left({\frac {T}{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} ^{*}}}$ est la suite des périodes associées aux harmoniques de la fréquence ${\displaystyle {\frac {1}{T}}}$.

La relation de définition s'écrit :

${\displaystyle \forall n\geqslant n_{0}\,\ \ {\frac {2}{u_{n+1}}}={\frac {1}{u_{n}}}+{\frac {1}{u_{n+2}}}\,}$

ce qui donne :

${\displaystyle \forall n\geqslant n_{0}\,\ \ u_{n+2}={\frac {u_{n}u_{n+1}}{2u_{n}-u_{n+1}}}\,}$

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