Suite de Følner

En mathématiques, une suite de Følner d'un groupe est une suite d'ensembles satisfaisant une certaine condition. Les suites de Følner servent à caractériser les groupes moyennables. Elles doivent leur nom au mathématicien Erling Følner.

Étant donné un groupe ${\displaystyle G}$ qui agit sur un ensemble dénombrable ${\displaystyle X}$, une suite de Følner pour cette action est une suite de sous-ensembles finis ${\displaystyle F_{1},F_{2},\dots }$ de ${\displaystyle X}$ qui recouvrent ${\displaystyle X}$ et qui « bougent peu » sous l'action du groupe. Plus précisément,

pour chaque ${\displaystyle x\in X}$, il existe un ${\displaystyle i}$ tel que ${\displaystyle x\in F_{j}}$ pour tout ${\displaystyle j>i}$, et ${\displaystyle \lim _{i\to \infty }{\frac {|gF_{i}\mathbin {\triangle } F_{i}|}{|F_{i}|}}=0}$ pour tout ${\displaystyle g}$ dans ${\displaystyle G}$,

où ${\displaystyle \triangle }$ est la différence symétrique, et ${\displaystyle |A|}$ le cardinal de ${\displaystyle A}$

Pour un groupe localement compact agissant sur un espace mesurable ${\displaystyle (X,\mu )}$, on utilise une autre définition : on remplace les ensembles finis par des ensemble de mesure finie et strictement positive ; la condition de Følner devient alors

${\displaystyle \lim _{i\to \infty }{\frac {\mu (gF_{i}\mathbin {\triangle } F_{i})}{\mu (F_{i})}}=0}$,

• Tout groupe fini ${\displaystyle G}$ possède une suite de Følner donnée par ${\displaystyle F_{i}=G}$.
• Considérons le groupe des entiers, agissant sur lui-même par addition. Soit ${\displaystyle F_{i}}$ l'ensemble des entiers compris entre ${\displaystyle -i}$ et ${\displaystyle i}$. Alors ${\displaystyle gF_{i}}$ est l'ensemble des entiers compris entre ${\displaystyle g-i}$ et ${\displaystyle g+i}$ ; la différence symétrique a pour cardinal ${\displaystyle 2g}$, alors que ${\displaystyle F_{i}}$ a pour cardinal ${\displaystyle 2i+1}$, donc ${\displaystyle (F_{i})}$ est une suite de Følner.

Soit ${\displaystyle G}$ un groupe dénombrable possédant une suite de Følner ${\displaystyle F_{i}}$ pour son action sur lui-même. Alors ${\displaystyle G}$ est moyennable.

Pour définir une mesure ${\displaystyle \mu }$ sur ${\displaystyle G}$, la définition naturelle serait

${\displaystyle \mu (A)=\lim _{i\to \infty }{|A\cap F_{i}| \over |F_{i}|}.}$

Cependant, cette limite n'existe pas toujours. Pour contourner cette difficulté, on choisit un ultrafiltre non-trivial ${\displaystyle \omega }$ sur ${\displaystyle \mathbb {N} }$, et on définit l'ultralimite :

${\displaystyle \mu (A)=\lim _{\omega }{|A\cap F_{i}| \over |F_{i}|}.}$

Les propriétés des ultralimites font de ${\displaystyle \mu }$ une mesure de probabilité finiment additive et invariante à gauche.

• Erling Følner, « On groups with full Banach mean value », Mathematica Scandinavica, vol. 3,‎ 1955, p. 243–254 (lire en ligne)

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