Sphère de Bloch

La sphère de Bloch, du nom du physicien et mathématicien Félix Bloch, ou sphère de Poincaré (comme cas d'application de celle-ci), est une représentation géométrique d'un état pur d'un système quantique à deux niveaux ; c'est donc, entre autres, une représentation d'un qubit. Il est possible de généraliser la construction de cette sphère à un système à ${\displaystyle n}$ niveaux.

La mécanique quantique se formalise dans les espaces de Hilbert, ou plus exactement, dans les espaces de Hilbert projectifs. L'espace projectif des états purs d'un système à 2 niveaux est isomorphe à une sphère.

La métrique naturelle de la sphère de Bloch est la métrique de Fubini-Study.

Considérons un état pur ${\displaystyle |\psi \rangle }$ d'un système à deux niveaux. En toute généralité, on peut le décomposer sur les états propres de l'espace ${\displaystyle |0\rangle }$ et ${\displaystyle |1\rangle }$ par : ${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle }$ avec ${\displaystyle \left|\alpha \right|^{2}+\left|\beta \right|^{2}=1}$ et ${\displaystyle (\alpha ,\beta )\in \mathbb {C} ^{2}}$. De plus, puisque les facteurs de phase n'affectent pas l'état physique d'un système, nous pouvons sans perte de généralité supposer ${\displaystyle \alpha }$ réel positif, et réécrire ${\displaystyle |\psi \rangle =\cos \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\,|0\rangle +e^{i\phi }\sin \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)\,|1\rangle }$ avec ${\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi ,\quad 0\leq \phi <2\pi .}$

Cette représentation décrit ψ sans ambiguïté. Les paramètres ${\displaystyle \phi }$ et ${\displaystyle \theta }$ spécifient de manière unique un point sur la sphère unité de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ayant pour coordonnées cartésiennes : ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x&=&\sin \theta \times \cos \phi \\y&=&\sin \theta \times \sin \phi \\z&=&\cos \theta \end{matrix}}\right.}$.

Dans cette représentation, ${\displaystyle |0\rangle \cong (0,0,1)}$ et ${\displaystyle |1\rangle \cong (0,0,-1)}$.

De plus, on peut calculer ${\displaystyle {\frac {|0\rangle +|1\rangle }{\sqrt {2}}}\cong (1,0,0)}$ et ${\displaystyle {\frac {|0\rangle +i|1\rangle }{\sqrt {2}}}\cong (0,1,0)}$

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