Sommes de puissances

En mathématiques, divers concepts, théorèmes et conjectures font intervenir des sommes de puissances entières de nombres ou de polynômes. Cette page en répertorie quelques exemples^[1].

Dans cette section, puissance signifie puissance entière d'entier.

• La somme des ${\displaystyle n}$ premiers cubes est égale au carré de la somme des ${\displaystyle n}$ premiers entiers
• Un nombre taxicab est un entier pouvant être exprimé comme somme de deux cubes de plusieurs façons.
• Une somme de deux cubes strictement positifs ne peut être un cube (grand théorème de Fermat), mais une somme de trois cubes peut être un cube, comme 3³ + 4³ + 5³ = 6³.
• Tout entier naturel est somme de 9 cubes positifs ou nuls et on conjecture qu'à partir d'un certain rang, tout entier est somme de 4 cubes positifs ou nuls (problème de Warring).
• Les sommes de trois cubes (positifs ou négatifs) ne peuvent être congrues à 4 ou 5 modulo 9. En 1992, Roger Heath-Brown a conjecturé que tout entier qui n'est pas congru à 4 ou 5 modulo 9 possède une infinité de représentations comme somme de trois cubes positifs ou négatifs.

• Le théorème de Fermat sur les triangles rectangles énonce qu'il n'existe pas de solution en entiers strictement positifs aux équations ${\displaystyle a^{2}=b^{4}+c^{4}}$ et ${\displaystyle a^{4}=b^{4}+c^{2}}$.
• Le dernier théorème de Fermat affirme que ${\displaystyle x^{k}+y^{k}=z^{k}}$ est impossible en entiers strictement positifs avec k > 2.
• La conjecture d'Euler (réfutée) concerne les situations où la somme d'un nombre donné de puissances k-ièmes, est égale à une autre puissance k-ième.
• La conjecture de Fermat-Catalan affirme qu'il n'existe qu'un nombre fini d'exemples où la somme de deux entiers strictement positifs premiers entre eux élevés chacun à une puissance entière strictement positive est égale à une puissance ; la somme des inverses des trois exposants est supposée strictement inférieures à 1.
• L'équation de Jacobi-Madden est : ${\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4}=(a+b+c+d)^{4}}$ en nombres entiers.
• Le problème de Prouhet-Tarry-Escott considère les sommes de deux ensembles de puissances k-ièmes d'entiers qui sont égales pour plusieurs valeurs de k.
• La conjecture de Lander, Parkin et Selfridge concerne la valeur minimale de m + n dans ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}.}$
• Le problème de Waring pose la question de savoir si, pour tout entier naturel k, il existe un entier positif associé ${\displaystyle g(k)}$ tel que tout entier naturel soit la somme d'au plus ${\displaystyle g(k)}$ puissances k-ièmes d'entiers naturels.
• L'équation d'Erdős-Moser, ${\displaystyle 1^{k}+2^{k}+\cdots +m^{k}=(m+1)^{k}}$ où m et k sont des entiers strictement positifs, est conjecturée comme n'ayant d'autre solution que 1¹ + 2¹ = 3¹.

• La somme de termes consécutifs d'une suite géométrique est ${\displaystyle \sum _{k=n_{0}}^{n}z^{k}={\frac {z^{n_{0}}-z^{n+1}}{1-z}}}$ et ${\displaystyle \sum _{k=n_{0}}^{\infty }z^{k}={\frac {z^{n_{0}}}{1-z}}}$ si ${\displaystyle |z|<1}$..

• La somme des inverses des puissances parfaites (entiers ${\displaystyle \geqslant 2}$ élevés à une puissance entière ${\displaystyle \geqslant 2}$), en comptant les répétitions comme ${\displaystyle 2^{4}=4^{2}}$, est égale à 1.
• La fonction zêta de Riemann est la somme des inverses des entiers strictement positifs, chacun élevé à la puissance s, où s est un nombre complexe de partie réelle strictement supérieure à 1.

• Les sommes de Newton ${\displaystyle X_{1}^{k}+X_{2}^{k}+\cdots +X_{n}^{k}}$ s'expriment par les identités de Newton en fonction des polynômes symétriques élémentaires. On en déduit la somme des puissances k-ièmes des racines d'un polynôme à une indéterminée en fonction de ses coefficients.
• Les formules de Faulhaber expriment ${\displaystyle 1^{k}+2^{k}+3^{k}+\cdots +n^{k}}$ comme polynôme en ${\displaystyle n}$, ou en fonction de polynômes de Bernoulli.

L'équation d'une super-ellipse est : ${\displaystyle |x/a|^{k}+|y/b|^{k}=1}$. Le squircle est le cas où k = 4, a = b.

• Liste de sommes d'inverses d'entiers
• Équation diophantienne

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