Sommation périodique

En mathématiques, toute fonction intégrable ${\displaystyle s(t)}$ peut être transformée en une fonction périodique ${\displaystyle s_{P}(t)}$ avec la période P en sommant les décalages de la fonction ${\displaystyle s(t)}$ par des multiples entiers de P. C'est ce qu'on appelle la sommation périodique :

${\displaystyle s_{P}(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }s(t+nP)}$

De façon alternative, quand ${\displaystyle s_{P}(t)}$ est représentée comme une série de Fourier, les coefficients de Fourier sont égaux aux valeurs de la transformée de Fourier (continue), ${\displaystyle S(f)\triangleq {\mathcal {F}}\{s(t)\},}$ évaluées en des valeurs prise à un intervalle ${\displaystyle {\tfrac {1}{P}}}$^[1],[2]. Cette identité est une forme de la formule de sommation de Poisson. De même, une série de Fourier dont les coefficients sont des échantillons de ${\displaystyle s(t)}$ à intervalles constants ( T ) équivaut à une sommation périodique de ${\displaystyle S(f),}$ ce qui est connu sous le nom de transformée de Fourier à temps discret.

La sommation périodique d'un delta de Dirac est le peigne de Dirac. De même, la sommation périodique d'une fonction intégrable est sa convolution avec le peigne de Dirac.

Si une fonction périodique est plutôt représentée en utilisant le domaine de l'espace quotient ${\displaystyle \mathbb {R} /(P\mathbb {Z} )}$ alors on peut écrire :

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{P}:&\mathbb {R} /(P\mathbb {Z} )&\to &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &\sum _{\tau \in x}s(\tau )\end{aligned}}}$

La fonction ${\displaystyle \varphi _{P}}$ est définie pour l'ensemble des classes d'équivalence de nombres réels qui partagent la même partie fractionnaire lorsqu'ils sont divisés par ${\displaystyle P}$.

• Peigne de Dirac
• Convolution circulaire
• Transformée de Fourier à temps discret

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