Relation de Schrödinger-Robertson

La relation de Schrödinger-Robertson est une généralisation de l'inégalité de Heisenberg formalisée dès 1930 par Howard Percy Robertson, puis complétée par Erwin Schrödinger.

Soient deux observables A et B et les opérateurs hermitiens ${\displaystyle {\hat {A}}}$ et ${\displaystyle {\hat {B}}}$ correspondants. Pour un état ${\displaystyle |\psi \rangle }$ donné, le produit des écarts types ${\displaystyle \Delta {A}}$ et ${\displaystyle \Delta {B}}$ vérifie :

${\displaystyle \Delta {A}\cdot \Delta {B}\geq {\sqrt {{\frac {1}{4}}\left|\left\langle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]\right\rangle _{\psi }\right|^{2}+{1 \over 4}\left|\left\langle \left\{{\hat {A}}-\langle {\hat {A}}\rangle _{\psi },{\hat {B}}-\langle {\hat {B}}\rangle _{\psi }\right\}\right\rangle _{\psi }\right|^{2}}}}$

où :

• ${\displaystyle \langle \,\rangle _{\psi }}$ désigne la moyenne sur l'état ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ;
• ${\displaystyle [{\hat {A}},{\hat {B}}]={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}}$ désigne le commutateur de ${\displaystyle {\hat {A}}}$ et ${\displaystyle {\hat {B}}}$ ;
• ${\displaystyle \{{\hat {A}},{\hat {B}}\}={\hat {A}}{\hat {B}}+{\hat {B}}{\hat {A}}}$ désigne l'anticommutateur de ${\displaystyle {\hat {A}}}$ et ${\displaystyle {\hat {B}}}$.

La relation de Schrödinger-Robertson fournit une équation d'incertitude pour tout couple d'observables ne commutant pas, notamment :

• La position et le moment d'une particule :

${\displaystyle \Delta x_{i}\Delta p_{i}\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

• L'énergie et la position d'une particule dans un potentiel unidimensionnel ${\displaystyle V(x)}$ :

${\displaystyle \Delta E\Delta x\geq {\hbar \over 2m}\left|\left\langle p_{x}\right\rangle \right|}$

• Le nombre d'électrons d'un supraconducteur et la phase de son paramètre d'ordre de Ginzburg-Landau^[1],[2] :

${\displaystyle \Delta N\Delta \phi \geq 1}$

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