Relation réflexive

En mathématiques, une relation binaire peut avoir, entre autres propriétés, la réflexivité ou bien l'antiréflexivité (ou irréflexivité).

Une relation ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ sur un ensemble ${\displaystyle E}$ est dite :

• réflexive si tout élément de ${\displaystyle E}$ est ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$-relié à lui-même :

${\displaystyle \forall a\in E\quad a{\mathcal {R}}a}$ ou encore, si le graphe de ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ contient la diagonale de ${\displaystyle E}$ (qui est le graphe de l'égalité) ;

• antiréflexive (ou irréflexive) si aucun élément de ${\displaystyle E}$ n'est ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$-relié à lui-même :

${\displaystyle \forall a\in E\quad \lnot (a{\mathcal {R}}a)}$ ou encore, si son graphe est disjoint de la diagonale de ${\displaystyle E}$.

La réflexivité et l'antiréflexivité sont deux propriétés incompatibles (${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ n'est jamais à la fois réflexive et antiréflexive, sauf si ${\displaystyle E}$ est l'ensemble vide) mais ne sont pas la négation l'une de l'autre (${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ peut n'être ni réflexive, ni antiréflexive).

Les relations d'équivalence et les préordres (en particulier les relations d'ordre) sont réflexives ; les relations d'ordre strict sont antiréflexives (suivre les liens pour des exemples de tous ces types de relations).

La relation « n'est pas égal à » (≠) est antiréflexive.

Dans un ensemble de personnes, la relation « est enfant de » est antiréflexive : personne n'est son propre enfant.

Une relation sur un ensemble d'au moins deux éléments peut n'être ni réflexive, ni irréflexive : il suffit qu'au moins un élément soit en relation avec lui-même et un autre non :

• sur l'ensemble des entiers naturels, la relation « est premier avec » n'est ni réflexive (en général, un entier n'est pas premier avec lui-même), ni antiréflexive (l'entier 1 est l'exception) ;
• sur l'ensemble des entiers relatifs, la relation « est l'opposé de » n'est ni réflexive (en général, un nombre n'est pas son propre opposé), ni antiréflexive (l'entier 0 est l'exception).

La clôture réflexive d'une relation ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ sur ${\displaystyle E}$ est la relation sur ${\displaystyle E}$, notée ici ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$^refl, dont le graphe est l'union de celui de ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ et de la diagonale de ${\displaystyle E}$ :

${\displaystyle \forall x,y\in E\quad x{\mathcal {R}}^{\rm {refl}}y\Leftrightarrow (x{\mathcal {R}}y\lor x=y).}$

C'est la plus petite (au sens de l'inclusion des graphes) relation réflexive contenant ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$.

Par exemple, toute relation d'ordre ≤ est la clôture réflexive de l'ordre strict < associé.

Clôture transitive et clôture réflexive transitive

• Notice dans un dictionnaire ou une encyclopédie généraliste :

  • Britannica

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