Racine carrée fonctionnelle

En mathématiques, une racine carrée fonctionnelle est une racine carrée d'une fonction vis-à-vis de l'opération de composition de fonctions. Autrement dit, une racine carrée fonctionnelle d'une fonction g est une fonction f satisfaisant f(f(x)) = g(x) pour tout x.

Des notations possibles pour indiquer que f est une racine carrée fonctionnelle de g sont f = g_[1/2] et f = g_1/2.

• La racine carrée fonctionnelle de la fonction exponentielle, maintenant appelée fonction demi-exponentielle, a été étudiée par Hellmuth Kneser en 1950^[1].
• Les solutions de f(f(x)) = x sur ${\displaystyle \mathbb {R} }$ (c'est-à-dire les involutions des nombres réels) ont d'abord été étudiées par Charles Babbage en 1815 et ce problème porte le nom d'équation fonctionnelle de Babbage^[2]. Une solution particulière est f(x) = (b − x)/(1 + cx) pour bc ≠ −1^[3]. Babbage remarqua que pour une solution f donnée, sa conjuguée topologique Ψ⁻¹ ∘ f ∘ Ψ par une fonction inversible quelconque Ψ est encore une solution. En d'autres mots, le groupe de toutes les fonctions inversibles sur les réels agit sur le sous-groupe des solutions de l'équation fonctionnelle de Babbage par conjugaison.

Un procédé pour produire des racines n-ièmes fonctionnelles pour des n quelconques est basé sur l'utilisation de l'équation de Schröder^[4],[5],[6].

• f(x) = 2x² est une racine carrée fonctionnelle de g(x) = 8x⁴.
• Une racine carrée fonctionnelle du n-ème polynôme de Tchebychev, g(x) = T_n(x), est f(x) = cos(√n arccos(x)), qui en général n'est pas elle-même un polynôme.
• f(x) = x/(√2 + x(1 − √2)) est une racine carrée fonctionnelle de g(x) = x/(2 − x).

• Racine carrée d'une matrice
• Fonction itérée
• Équation de Schröder
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