En mathématiques , le produit infini de Cantor est un produit infini particulier défini par récurrence permettant d'exprimer tout nombre réel strictement supérieur à 1. Il a été introduit par Georg Cantor en 1869 [ 1]
Énoncé du théorème de décomposition
Tout nombre réel x 0
x
0
=
∏
n
=
0
∞
(
1
+
1
a
n
)
,
{\displaystyle x_{0}=\prod _{n=0}^{\infty }{\left(1+{\frac {1}{a_{n}}}\right)},}
où les
a
n
{\displaystyle a_{n}}
entiers naturels non nuls, vérifiant pour tout naturel n
a
n
+
1
⩾
a
n
2
{\displaystyle a_{n+1}\geqslant a_{n}^{2}}
a
n
⩾
2
{\displaystyle a_{n}\geqslant 2}
n assez grands[ 2] , [ 3]
Construction du produit
On définit les nombres suivants, où
⌊
x
⌋
{\displaystyle \left\lfloor x\right\rfloor }
partie entière de x :
a
0
=
⌊
x
0
x
0
−
1
⌋
,
x
1
=
x
0
1
+
1
a
0
{\displaystyle a_{0}=\left\lfloor {\frac {x_{0}}{x_{0}-1}}\right\rfloor ,\ x_{1}={\frac {x_{0}}{1+{\frac {1}{a_{0}}}}}}
De
a
0
+
1
>
x
0
x
0
−
1
{\displaystyle a_{0}+1>{\frac {x_{0}}{x_{0}-1}}}
x 1 > 1
a
n
=
⌊
x
n
x
n
−
1
⌋
,
x
n
+
1
=
x
n
1
+
1
a
n
{\displaystyle a_{n}=\left\lfloor {\frac {x_{n}}{x_{n}-1}}\right\rfloor ,\ x_{n+1}={\frac {x_{n}}{1+{\frac {1}{a_{n}}}}}}
Caractérisation des nombres rationnels[ 2] , [ 3]
Théorème —
x
0
{\displaystyle x_{0}}
a
n
+
1
=
a
n
2
{\displaystyle a_{n+1}=a_{n}^{2}}
Exemples
Pour tout entier
a
⩾
2
{\displaystyle a\geqslant 2}
a
a
−
1
=
∏
n
=
0
∞
(
1
+
1
a
2
n
)
{\displaystyle {\frac {a}{a-1}}=\prod _{n=0}^{\infty }{\left(1+{\frac {1}{a^{2^{n}}}}\right)}}
(
a
n
)
=
(
a
2
n
)
{\displaystyle (a_{n})=(a^{2^{n}})}
a
n
+
1
=
a
n
2
{\displaystyle a_{n+1}=a_{n}^{2}}
2
=
∏
n
=
0
∞
(
1
+
1
a
n
)
=
(
1
+
1
3
)
(
1
+
1
17
)
(
1
+
1
577
)
⋯
{\displaystyle {\sqrt {2}}=\prod _{n=0}^{\infty }{\left(1+{\frac {1}{a_{n}}}\right)}=\left(1+{\frac {1}{3}}\right)\left(1+{\frac {1}{17}}\right)\left(1+{\frac {1}{577}}\right)\cdots }
a
0
=
3
{\displaystyle a_{0}=3}
a
n
+
1
=
2
a
n
2
−
1
{\displaystyle a_{n+1}=2a_{n}^{2}-1}
A001601 de l'OEIS .D'après le théorème précédent, on voit donc que √2 est un nombre irrationnel (même s'il y a beaucoup plus simple pour le démontrer)[ 2] , [ 3]
Plus généralement, Pour tout entier
a
⩾
2
{\displaystyle a\geqslant 2}
a
+
1
a
−
1
=
∏
n
=
0
∞
(
1
+
1
a
n
)
{\displaystyle {\sqrt {\frac {a+1}{a-1}}}=\prod _{n=0}^{\infty }{\left(1+{\frac {1}{a_{n}}}\right)}}
a
0
=
a
{\displaystyle a_{0}=a}
a
n
+
1
=
2
a
n
2
−
1
{\displaystyle a_{n+1}=2a_{n}^{2}-1}
[ 2] , [ 3] L'intérêt premier du développement en produit de Cantor est la rapidité de convergence de l'algorithme, ce qui en fait un candidat intéressant pour une implémentation sur calculatrice.
Notes et références
↑ (de) Georg Cantor, « Zum Sätze über eine gewisse Zerlegung der Zahlen in unendliche Produkte », Zeitschrift für Mathematik und Physik 1869 , p. 152-158 (lire en ligne ) Daniel Duverney, Théorie des nombres , Dunod, 1998 , p. 13-15 (en) Daniel Duverney , Number Theory : An Elementary Introduction Through Diophantine Problems (traduction du précédent) , World Scientific , coll. « Monographs in Number Theory » (no 4), 2010 , 335 p. (ISBN 978-981-4307-46-8 , lire en ligne ) , p. 15-18 (de) Oskar Perron, Irrationalzahlen, die Cantorschen Produkte , Berlin, 1921 (lire en ligne ) , p. 122-127
Articles connexes
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