Polynôme de Bernoulli

En mathématiques, les polynômes de Bernoulli apparaissent dans l'étude de beaucoup de fonctions spéciales et en particulier, la fonction zêta de Riemann ; des polynômes analogues, correspondant à une fonction génératrice voisine, sont connus sous le nom de polynômes d'Euler.

Les polynômes de Bernoulli sont l'unique suite de polynômes ${\displaystyle \left(B_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ telle que :

• ${\displaystyle B_{0}=1}$
• ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,B'_{n+1}=(n+1)B_{n}}$
• ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*},\int _{0}^{1}B_{n}(x)dx=0}$

La série génératrice des polynômes de Bernoulli est

${\displaystyle {\frac {te^{xt}}{e^{t}-1}}=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}}$.

La série génératrice des polynômes d'Euler est

${\displaystyle {\frac {2e^{xt}}{e^{t}+1}}=\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}}$.

Les nombres de Bernoulli sont donnés par ${\displaystyle B_{n}=B_{n}(0)}$.

Les nombres d'Euler sont donnés par ${\displaystyle E_{n}=2^{2n}E_{2n}(1/2)}$.

Les polynômes de Bernoulli et d'Euler obéissent à beaucoup de relations du calcul ombral utilisé par Édouard Lucas, par exemple.

${\displaystyle B_{n}(x+1)-B_{n}(x)=nx^{n-1}\,}$

${\displaystyle E_{n}(x+1)+E_{n}(x)=2x^{n}\,}$

${\displaystyle B_{n}'(x)=nB_{n-1}(x)\,}$

${\displaystyle E_{n}'(x)=nE_{n-1}(x)\,}$

${\displaystyle B_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}(x)y^{n-k}}$

${\displaystyle E_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}E_{k}(x)y^{n-k}}$

${\displaystyle B_{n}(1-x)=(-1)^{n}B_{n}(x)}$

${\displaystyle E_{n}(1-x)=(-1)^{n}E_{n}(x)}$

${\displaystyle (-1)^{n}B_{n}(-x)=B_{n}(x)+nx^{n-1}}$

${\displaystyle (-1)^{n}E_{n}(-x)=-E_{n}(x)+2x^{n}}$

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,B_{n}(x)=2^{n-1}\left(B_{n}\left({\frac {x}{2}}\right)+B_{n}\left({\frac {x+1}{2}}\right)\right)}$

${\displaystyle \forall p\in \mathbb {N} ,\forall n\in \mathbb {N} ,\sum _{k=0}^{n}k^{p}={\frac {B_{p+1}(n+1)-B_{p+1}(0)}{p+1}}}$

Cette dernière égalité, déduite de la formule de Faulhaber, vient de l'égalité : ${\displaystyle \int _{x}^{x+1}B_{n}(t)\,\mathrm {d} t=x^{n}}$ ou, plus simplement, de la somme télescopique

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\left(B_{m}(k+1)-B_{m}(k)\right)=B_{m}(n+1)-B_{m}(0)}$

.

Les nombres ${\displaystyle B_{n}=B_{n}(0)}$ sont les nombres de Bernoulli.

${\displaystyle \forall n>1,\quad B_{n}(0)=B_{n}(1)}$

Les nombres de Bernoulli de rang impair différent de 1 sont nuls :

${\displaystyle \forall p\in \mathbb {N} ^{*}\quad B_{2p+1}(0)=B_{2p+1}(1)=0}$

${\displaystyle \forall p\in \mathbb {N} \quad B_{2p+1}\left({\frac {1}{2}}\right)=0}$

${\displaystyle \forall p\in \mathbb {N} \quad B_{2p}\left({\frac {1}{2}}\right)=\left({\frac {1}{2^{2p-1}}}-1\right)B_{2p}}$

La série de Fourier des polynômes de Bernoulli est aussi une série de Dirichlet, donnée par le développement^[1] :

${\displaystyle B_{n}(x)=-{\frac {n!}{(2\pi \mathrm {i} )^{n}}}\sum _{k\in \mathbb {Z} \atop k\neq 0}{\frac {\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} kx}}{k^{n}}}=-n!\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} kx}+(-1)^{n}\mathrm {e} ^{-2\pi \mathrm {i} kx}}{(2\pi \mathrm {i} k)^{n}}}=-2\,n!\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos \left(2k\pi x-{\frac {n\pi }{2}}\right)}{(2k\pi )^{n}}}}$,

valide seulement pour 0 ≤ x ≤ 1 lorsque n ≥ 2 et pour 0 < x < 1 lorsque n = 1.

C'est un cas particulier de la formule de Hurwitz.

• (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne), chap. 23
• (en) Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, 1976, Springer-Verlag, New York, chap. 12.11

• Formule de Faulhaber
• Formule d'Euler-Maclaurin
• Jacques Bernoulli

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