Nombre premier cubain

En mathématiques, dans leur généralité, les nombres premiers cubains sont les nombres premiers de la forme^[1]:

${\displaystyle p={\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}}=x^{2}+xy+y^{2}}$ où ${\displaystyle x>y>0}$ sont des entiers.

Leur nom vient de ce que leur forme fait intervenir des cubes ^[2],[3].

Lorsque ${\displaystyle \ x=y+1~}$, on obtient les nombres premiers de la forme^[4],[5] :

${\displaystyle p=(y+1)^{3}-y^{3}=3y^{2}+3y+1}$ avec ${\displaystyle \ y>0,}$

autrement dit les nombres premiers différences de deux cubes consécutifs. Ce sont donc les nombres hexagonaux centrés premiers.

Ils forment la suite A002407 de l'OEIS : 7, 19, 37, 61, 127, 271, 331, 397, 547, 631, etc.

Écrivant ${\displaystyle 3y^{2}+3y+1}$ sous la forme canonique ${\displaystyle {\frac {3(2y+1)^{2}+1}{4}}}$, on voit que les nombres premiers cubains de première espèce sont les nombres premiers ${\displaystyle p}$ tels que ${\displaystyle 4p=3n^{2}+1}$ où ${\displaystyle n}$ est impair. On conjecture qu'il y a une infinité de nombres de ce type.

En juillet 2023^[6], le plus grand nombre premier cubain de première espèce connu, obtenu pour ${\displaystyle y=3^{3304301}-1}$, comportait 3 153 105 chiffres.

Lorsque ${\displaystyle \ x=y+2}$, on obtient les nombres premiers de la forme^[5] :

${\displaystyle p={\frac {(y+2)^{3}-y^{3}}{2}}=3y^{2}+6y+4=3(y+1)^{2}+1}$ avec ${\displaystyle \ y>0,}$

autrement dit, les nombres premiers de la forme ${\displaystyle 3n^{2}+1}$ où ${\displaystyle n}$ est forcément pair ; ils forment la suite A002648 de l'OEIS : 13, 109, 193, 433, 769, 1201, etc. , correspondant aux valeurs de ${\displaystyle n}$ successives : 2, 6, 8, 12, 16, 20,... (suite A111051 de l'OEIS).

• Liste de suites de nombres premiers

• Arithmétique et théorie des nombres