Nombre octogonal

En mathématiques, un nombre octogonal est un nombre figuré polygonal qui peut être représenté graphiquement par des points répartis dans un octogone. Le nombre octogonal d'ordre ${\displaystyle n}$ est donné par la formule ^[1],[2] :

${\displaystyle P_{8,n}=O_{n}=n(3n-2)}$.

Les treize premiers nombres octogonaux sont 1, 8, 21, 40, 65, 96, 133, 176, 225, 280, 341, 408 et 481 (suite A000567 de l'OEIS).

Pour avoir ${\displaystyle n}$ points sur chaque côté de l'octogone extérieur, on ajoute à l'étape ${\displaystyle n}$ : ${\displaystyle 8-1}$ points aux sommets et ${\displaystyle (8-2)(n-2)}$ points à l'intérieur des côtés, d'où ${\displaystyle O_{n}-O_{n-1}=7+6(n-2)=6(n-1)+1}$.

Donc ${\displaystyle O_{n}=\sum _{k=1}^{n}(6(k-1)+1)=\sum _{k=0}^{n-1}(6k+1)=3n(n-1)+n=n(3n-2)}$.

De la formule générale ${\displaystyle P_{k,n}=P_{k-1,n}+T_{n-1}}$, découle par exemple que ${\displaystyle O_{n}}$ s'obtient en ajoutant le nombre carré ${\displaystyle C_{n}}$ au quadruple du ${\displaystyle (n-1)}$-ème nombre triangulaire : ${\displaystyle O_{n}=C_{n}+4T_{n-1}=n^{2}+2n(n-1)}$ .

• ${\displaystyle O_{n}=n+6T_{n-1}=n+3n(n-1)}$ est congru à ${\displaystyle n}$ modulo 6 et a donc même parité que lui.

• D'après le théorème des nombres polygonaux de Fermat, tout entier naturel est la somme d'au plus 8 nombres octogonaux.
• Pour les nombres à la fois octogonaux et triangulaires^[3], voir la suite A046183 de l'OEIS.

• Nombre polygonal
• Nombre octogonal centré
• Nombre octaédrique

• Arithmétique et théorie des nombres