Loi normale asymétrique

Distribution normale asymétrique
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Paramètres	${\displaystyle \xi \,}$ position (réel) ${\displaystyle \omega \,}$ échelle (réel positif) ${\displaystyle \alpha \,}$ forme (asymétrie) (réel)
Support	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$
Densité de probabilité	${\displaystyle {\frac {1}{\omega \pi }}e^{-{\frac {(x-\xi )^{2}}{2\omega ^{2}}}}\int _{-\infty }^{\alpha \left({\frac {x-\xi }{\omega }}\right)}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}\ dt}$
Fonction de répartition	${\displaystyle \Phi \left({\frac {x-\xi }{\omega }}\right)-2T\left({\frac {x-\xi }{\omega }},\alpha \right)}$ ${\displaystyle T(h,a)}$ est la fonction T d'Owen
Espérance	${\displaystyle \xi +\omega \delta {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}}$ où ${\displaystyle \delta ={\frac {\alpha }{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}}$
Variance	${\displaystyle \omega ^{2}\left(1-{\frac {2\delta ^{2}}{\pi }}\right)}$
Asymétrie	${\displaystyle {\frac {4-\pi }{2}}{\frac {\left(\delta {\sqrt {2/\pi }}\right)^{3}}{\left(1-2\delta ^{2}/\pi \right)^{3/2}}}}$
Kurtosis normalisé	${\displaystyle 2(\pi -3){\frac {\left(\delta {\sqrt {2/\pi }}\right)^{4}}{\left(1-2\delta ^{2}/\pi \right)^{2}}}}$
Fonction génératrice des moments	${\displaystyle 2\exp \left(\mu \,t+\sigma ^{2}{\frac {t^{2}}{2}}\right)\Phi (\sigma \delta t)}$
Fonction caractéristique	${\displaystyle \exp \left(\mu \,i\,t-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)\left(1+i\,\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma \delta t}{\sqrt {2}}}\right)\right)}$

En théorie des probabilités et en statistiques, la distribution normale asymétrique est une loi de probabilité continue qui généralise la distribution normale en introduisant une asymétrie non nulle.

Soit ${\displaystyle \phi (x)}$ la densité de probabilité de la loi normale centrée réduite

${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}$

avec sa fonction de répartition donnée par

${\displaystyle \Phi (x)=\int _{-\infty }^{x}\phi (t)\ dt={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right]}$

avec erf la fonction d'erreur.

Alors la densité de probabilité de la distribution normale asymétrique de paramètre α est donnée par

${\displaystyle f(x)=2\phi (x)\Phi (\alpha x).\,}$

Pour ajouter un paramètre de position et un paramètre d'échelle à cela, on utilise la transformation usuelle ${\displaystyle x\mapsto {\frac {x-\xi }{\omega }}}$. On peut vérifier que l'on retrouve une distribution normale lorsque ${\displaystyle \alpha =0}$, et que la valeur absolue de l'asymétrie augmente lorsque la valeur absolue de ${\displaystyle \alpha }$ augmente. La distribution est asymétrique vers la droite si ${\displaystyle \alpha >0}$ et est asymétrique vers la gauche si ${\displaystyle \alpha <0}$. La densité de probabilité avec un paramètre de position ξ, un paramètre d'échelle ω, et un paramètre d'asymétrie α devient

${\displaystyle f(x)={\frac {2}{\omega }}\phi \left({\frac {x-\xi }{\omega }}\right)\Phi \left(\alpha \left({\frac {x-\xi }{\omega }}\right)\right).\,}$

L'estimateur du maximum de vraisemblance pour ${\displaystyle \xi }$, ${\displaystyle \omega }$, et ${\displaystyle \alpha }$ peut être calculé numériquement, mais il n'existe pas d'expression directe des estimateurs sauf si ${\displaystyle \alpha =0}$. Si l'on a besoin d'une expression explicite, la méthode des moments peut être appliquée pour estimer ${\displaystyle \alpha }$ à partir de l'asymétrie empirique de l'échantillon, en inversant l'équation d'asymétrie. Cela donne l'estimateur

${\displaystyle |\delta |={\sqrt {{\frac {\pi }{2}}{\frac {|{\hat {\gamma }}_{3}|^{\frac {2}{3}}}{|{\hat {\gamma }}_{3}|^{\frac {2}{3}}+((4-\pi )/2)^{\frac {2}{3}}}}}}}$

où ${\displaystyle \delta ={\frac {\alpha }{\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}}$, et ${\displaystyle {\hat {\gamma }}_{3}}$ est l'asymétrie empirique. Le signe de ${\displaystyle \delta }$ est le même que celui de ${\displaystyle {\hat {\gamma }}_{3}}$. Par conséquent, ${\displaystyle {\hat {\alpha }}=\delta /{\sqrt {1-\delta ^{2}}}}$.

(en) A. Azzalini, « A class of distributions which includes the normal ones », Scand. J. Statist., vol. 12,‎ 1985, p. 171–178

Asymétrie (statistique)

• A very brief introduction to the skew-normal distribution
• The Skew-Normal Probability Distribution (and related distributions, such as the skew-t)
• OWENS: Owen's T Function
• Closed-skew Distributions - Simulation, Inversion and Parameter Estimation

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