Loi inverse-χ²

Loi inverse-χ2
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Paramètres	${\displaystyle \nu >0\!}$
Support	${\displaystyle x\in ]0,\infty [\!}$
Densité de probabilité	${\displaystyle {\frac {2^{-\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)}}\,x^{-\nu /2-1}e^{-1/(2x)}\!}$
Fonction de répartition	${\displaystyle \Gamma \!\left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2x}}\right){\bigg /}\,\Gamma \!\left({\frac {\nu }{2}}\right)\!}$
Espérance	${\displaystyle {\frac {1}{\nu -2}}\!}$ pour ${\displaystyle \nu >2\!}$
Mode	${\displaystyle {\frac {1}{\nu +2}}\!}$
Variance	${\displaystyle {\frac {2}{(\nu -2)^{2}(\nu -4)}}\!}$ pour ${\displaystyle \nu >4\!}$
Asymétrie	${\displaystyle {\frac {4}{\nu -6}}{\sqrt {2(\nu -4)}}\!}$ pour ${\displaystyle \nu >6\!}$
Kurtosis normalisé	${\displaystyle {\frac {12(5\nu -22)}{(\nu -6)(\nu -8)}}\!}$ pour ${\displaystyle \nu >8\!}$
Entropie	${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\nu }{2}}+\ln \left({\frac {1}{2}}\Gamma \!\left({\frac {\nu }{2}}\right)\right)-\left(1+{\frac {\nu }{2}}\right)\psi \left({\frac {\nu }{2}}\right)}$
Fonction génératrice des moments	${\displaystyle {\frac {2}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left({\frac {-t}{2\mathrm {i} }}\right)^{\!\!{\frac {\nu }{4}}}K_{\frac {\nu }{2}}\!\left({\sqrt {-2t}}\right)}$
Fonction caractéristique	${\displaystyle {\frac {2}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left({\frac {-\mathrm {i} t}{2}}\right)^{\!\!{\frac {\nu }{4}}}K_{\frac {\nu }{2}}\!\left({\sqrt {-2\mathrm {i} t}}\right)}$

En théorie des probabilités et en statistique, la loi inverse-${\displaystyle \chi ^{2}}$ (ou loi du ${\displaystyle \chi ^{2}}$ inverse) est la loi de probabilité^[1] de la variable aléatoire dont l'inverse suit une loi du χ². Une variante par changement d'échelle existe également.

Cette loi est utilisée en inférence statistique. Si X suit une loi inverse-χ², on notera : ${\displaystyle X\sim {\mbox{Inv-}}\chi ^{2}(\nu )}$.

Si X suit une loi du χ² à ${\displaystyle \nu }$ degrés de liberté, alors ${\displaystyle 1/X}$ est de loi inverse-χ² à ${\displaystyle \nu }$ degrés de liberté.

Sa densité de probabilité est donnée par :

${\displaystyle f(x;\nu )={\begin{cases}\displaystyle {\frac {2^{-\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)}}\,x^{-\nu /2-1}\mathrm {e} ^{-1/(2x)}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}}$

où ${\displaystyle \Gamma }$ est la fonction gamma et ${\displaystyle \nu }$ est appelé le nombre de degrés de liberté.

Une variante de la loi inverse-χ² existe, par un changement d'échelle. C'est la loi de ${\displaystyle \nu /X}$ lorsque X suit une loi du χ² à ${\displaystyle \nu }$ degrés de liberté. La densité de probabilité est alors donnée par :

${\displaystyle f(x;\nu )={\begin{cases}\displaystyle {\frac {(\nu /2)^{\nu /2}}{\Gamma (\nu /2)}}x^{-\nu /2-1}\mathrm {e} ^{-\nu /(2x)}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon.}}\end{cases}}}$

Le degré de liberté est encore ${\displaystyle \nu }$.

• loi du χ² : Si ${\displaystyle X\thicksim \chi ^{2}(\nu )}$, alors ${\displaystyle {\frac {1}{X}}\thicksim {\mbox{Inv-}}\chi ^{2}(\nu )}$.
• la loi inverse-χ² est la loi inverse-gamma avec ${\displaystyle \alpha ={\frac {\nu }{2}}}$ et ${\displaystyle \beta ={\frac {1}{2}}}$.

• (en) Eric W. Weisstein, « Inverse Chi-Squared Distribution », sur MathWorld
• InvChisquare dans le paquet geoR pour le langage R.

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