En analyse , les intégrales de log-sinus (log-sine integrals
∀
n
∈
N
,
Ls
n
(
t
)
=
−
∫
0
t
(
ln
|
2
sin
(
θ
2
)
|
)
n
−
1
d
θ
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\ \operatorname {Ls} _{n}(t)=-\int _{0}^{t}\left(\ln \left|2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right|\right)^{n-1}\,\mathrm {d} \theta }
Ces fonctions sont liées à de nombreuses fonctions spéciales, comme la fonction Gamma d'Euler.
Propriétés
Quasi-périodicité
Les intégrales en log-sinus sont quasi périodiques :
∀
n
,
k
∈
N
,
Ls
n
(
2
k
π
)
=
2
k
Ls
n
(
π
)
{\displaystyle \forall n,k\in \mathbb {N} ,\operatorname {Ls} _{n}(2k\pi )=2k\operatorname {Ls} _{n}(\pi )}
Valeurs spéciales en π
Les valeurs des intégrales en π sont liées par une forme de récurrence avec la constante d'Apéry :
Ls
2
(
π
)
=
0
,
Ls
3
(
π
)
=
−
π
3
12
,
Ls
4
(
π
)
=
3
2
ζ
(
3
)
,
Ls
5
(
π
)
=
−
19
240
π
5
,
Ls
6
(
π
)
=
45
2
ζ
(
5
)
+
5
4
π
3
ζ
(
3
)
,
Ls
7
(
π
)
=
−
275
1344
π
7
−
45
2
π
ζ
(
3
)
2
Ls
8
(
π
)
=
2835
4
π
ζ
(
7
)
+
315
8
π
3
ζ
(
5
)
+
133
32
π
5
ζ
(
3
)
,
…
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ls} _{2}(\pi )=0,&\qquad \operatorname {Ls} _{3}(\pi )=-{\frac {\pi ^{3}}{12}},\\\operatorname {Ls} _{4}(\pi )={\frac {3}{2}}\zeta (3),&\qquad \operatorname {Ls} _{5}(\pi )=-{\frac {19}{240}}\pi ^{5},\\\operatorname {Ls} _{6}(\pi )={\frac {45}{2}}\zeta (5)+{\frac {5}{4}}\pi ^{3}\zeta (3),&\qquad \operatorname {Ls} _{7}(\pi )=-{\frac {275}{1344}}\pi ^{7}-{\frac {45}{2}}\pi \zeta (3)^{2}\\\operatorname {Ls} _{8}(\pi )={\frac {2835}{4}}\pi \zeta (7)+{\frac {315}{8}}\pi ^{3}\zeta (5)+{\frac {133}{32}}\pi ^{5}\zeta (3),&\qquad \ldots \end{aligned}}}
Pour leur calcul, on établit la relation suivante[ 1] , [ 2]
∑
n
=
0
+
∞
Ls
n
+
1
(
π
)
x
n
n
!
=
−
π
Γ
(
1
+
x
)
Γ
(
1
+
x
2
)
2
{\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }\operatorname {Ls} _{n+1}(\pi ){\frac {x^{n}}{n!}}=-\pi {\frac {\Gamma (1+x)}{\Gamma (1+{\tfrac {x}{2}})^{2}}}}
On en tire l'égalité :
Ls
n
(
π
)
=
−
π
d
n
d
x
n
exp
(
∑
k
=
2
+
∞
(
−
1
)
k
η
(
k
)
x
k
k
)
|
x
=
0
{\displaystyle \operatorname {Ls} _{n}(\pi )=-\pi {\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\left.\exp \left(\sum _{k=2}^{+\infty }(-1)^{k}\eta (k){\frac {x^{k}}{k}}\right)\right|_{x=0}}
avec η , la fonction êta de Dirichlet .
Démonstration
On considère la fonction intégrale :
I
(
x
)
=
∫
0
π
exp
[
x
ln
(
2
sin
θ
2
)
]
d
θ
{\displaystyle I(x)=\int _{0}^{\pi }\exp \left[x\ln \left(2\sin {\frac {\theta }{2}}\right)\right]\mathrm {d} \theta }
Le développement en série entière de la fonction exponentielle permet d'établir :
I
(
x
)
=
∫
0
π
∑
n
=
0
+
∞
x
n
n
!
ln
(
2
sin
θ
2
)
n
d
θ
=
−
∑
n
=
0
+
∞
x
n
n
!
Ls
n
(
π
)
{\displaystyle I(x)=\int _{0}^{\pi }\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\ln \left(2\sin {\frac {\theta }{2}}\right)^{n}\mathrm {d} \theta =-\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}\operatorname {Ls} _{n}(\pi )}
D'un autre côté, avec la formule de duplication :
I
(
x
)
=
∫
0
π
2
x
sin
x
θ
2
d
θ
=
2
x
+
1
∫
0
π
2
sin
x
θ
d
θ
=
2
x
B
(
1
2
,
1
2
+
x
2
)
=
π
Γ
(
1
+
x
)
Γ
(
1
+
x
2
)
2
{\displaystyle I(x)=\int _{0}^{\pi }2^{x}\sin ^{x}{\frac {\theta }{2}}\mathrm {d} \theta =2^{x+1}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{x}\theta \,\mathrm {d} \theta =2^{x}\mathrm {B} ({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {x}{2}})=\pi {\frac {\Gamma (1+x)}{\Gamma (1+{\tfrac {x}{2}})^{2}}}}
On calcule maintenant la dérivée n -ième de la dérivée logarithmique de cette dernière expression, qui fait apparaitre les fonctions polygamma , dont on calcule la valeur en 0 :
(
ln
∘
I
)
(
n
)
(
0
)
=
lim
x
⟶
0
(
ψ
n
−
1
(
1
+
x
)
−
1
2
n
−
1
ψ
n
−
1
(
1
+
x
2
)
)
=
(
−
1
)
n
(
n
−
1
)
!
∑
k
=
0
∞
1
(
k
+
1
)
n
−
(
−
1
)
n
(
n
−
1
)
!
2
n
−
1
∑
k
=
0
∞
1
(
k
+
1
)
n
=
(
−
1
)
n
(
n
−
1
)
!
η
(
n
)
{\displaystyle (\ln \circ I)^{(n)}(0)=\lim _{x\longrightarrow 0}\left(\psi _{n-1}(1+x)-{\frac {1}{2^{n-1}}}\psi _{n-1}(1+{\tfrac {x}{2}})\right)=(-1)^{n}\;(n-1)!\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+1)^{n}}}-{\frac {(-1)^{n}(n-1)!}{2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+1)^{n}}}=(-1)^{n}\;(n-1)!\eta (n)}
Le développement en série entière en 0 s'écrit donc :
(
ln
∘
I
)
(
x
)
=
∑
n
=
1
+
∞
(
ln
∘
I
)
(
n
)
(
0
)
x
n
n
!
=
∑
n
=
2
+
∞
(
−
1
)
n
η
(
n
)
x
n
n
.
{\displaystyle (\ln \circ I)(x)=\sum _{n=1}^{+\infty }(\ln \circ I)^{(n)}(0){\frac {x^{n}}{n!}}=\sum _{n=2}^{+\infty }(-1)^{n}\eta (n){\frac {x^{n}}{n}}.}
Ce qui permet de conclure.
Valeurs spéciales en π /2
Ls
2
(
π
2
)
=
K
{\displaystyle \operatorname {Ls} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=K}
constante de Catalan ),
Liens avec les autres fonctions spéciales
La fonction intégrale en log-sinus pour n = 2fonction de Clausen :
∀
t
∈
R
,
Ls
2
(
t
)
=
Cl
2
(
t
)
{\displaystyle \forall t\in \mathbb {R} ,\operatorname {Ls} _{2}(t)=\operatorname {Cl} _{2}(t)}
Les intégrales en log-sinus apparaissent dans les valeurs de la dérivée de la fonction bêta :
Ls
n
(
π
)
=
d
n
d
x
n
[
2
x
B
(
x
+
1
2
,
1
2
)
]
|
x
=
0
{\displaystyle \operatorname {Ls} _{n}(\pi )=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\left[2^{x}\mathrm {B} \left({\frac {x+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)\right]\right|_{x=0}}
Extensions
Intégrales en log-sinus-cosinus
Lewin a également étudié le cas des intégrales en log-sinus-cosinus (log-sine-cosine integrals
∀
m
,
n
∈
N
,
Lsc
m
,
n
(
t
)
=
∫
0
t
(
ln
|
2
cos
(
θ
2
)
|
)
m
−
1
(
ln
|
2
sin
(
θ
2
)
|
)
n
−
1
d
θ
{\displaystyle \forall m,n\in \mathbb {N} ,\ \operatorname {Lsc} _{m,n}(t)=\int _{0}^{t}\left(\ln \left|2\cos \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right|\right)^{m-1}\left(\ln \left|2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right|\right)^{n-1}\,\mathrm {d} \theta }
en établissant que
∑
n
=
0
+
∞
Lsc
m
+
1
,
n
+
1
(
π
)
x
m
m
!
y
n
n
!
=
−
2
x
+
y
B
(
1
+
x
2
,
1
+
y
2
)
{\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }\operatorname {Lsc} _{m+1,n+1}(\pi ){\frac {x^{m}}{m!}}{\frac {y^{n}}{n!}}=-2^{x+y}\mathrm {B} ({\frac {1+x}{2}},{\frac {1+y}{2}})}
Intégrales généralisées
Les intégrales en log-sinus généralisées (généralized log-sine integrals
∀
n
,
k
∈
N
,
Ls
n
(
k
)
(
t
)
=
−
∫
0
t
θ
k
(
ln
|
2
sin
(
θ
2
)
|
)
n
−
1
−
k
d
θ
{\displaystyle \forall n,k\in \mathbb {N} ,\ \operatorname {Ls} _{n}^{(k)}(t)=-\int _{0}^{t}\theta ^{k}\left(\ln \left|2\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)\right|\right)^{n-1-k}\,\mathrm {d} \theta }
Elles sont liées aux fonctions polylogarithmes et aux fonctions de Glaisher-Clausen .
On a :
∀
k
∈
N
,
∑
n
=
0
+
∞
1
n
k
(
2
n
n
)
=
(
−
2
)
k
−
1
(
k
−
2
)
!
Ls
k
(
1
)
(
π
3
)
.
{\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} ,\sum _{n=0}^{+\infty }{\frac {1}{n^{k}{\binom {2n}{n}}}}={\frac {(-2)^{k-1}}{(k-2)!}}\operatorname {Ls} _{k}^{(1)}({\frac {\pi }{3}}).}
Applications
Ces intégrales apparaissent dans plusieurs champs des mathématiques et de la physique. Les intégrales de log-sinus et log-sinus-cosinus apparaissent dans le calcul des termes de haut degré du développement en epsilon de plusieurs diagrammes de Feynman [ 3] théorie des nombres , elles permettent d'exprimer des classes de sommes binomiales inverses[ 4]
Références
↑ (de) Niels Nielsen, Handbuch der theorie der Gammafunktion , B.G. Teubner, 1906 , chap. X (« Das erste Eulersche Integral ») ↑ (en) Leonard Lewin, « On the Evaluation of log-sine Integrals », The Mathematical Gazette vol. 42, no 340, 1958 , p. 125–128 (DOI 10.2307/3609410 ↑ (en) A.I. Davydychev et M.Yu. Kalmykov, « New results for the epsilon-expansion of certain one-, two- and three-loop Feynman diagrams 2000 .↑ (en) Necdet Batir, « Integral representations of some series involving
(
2
k
k
)
−
1
k
−
n
{\textstyle {\binom {2k}{k}}^{-1}k^{-n}}
», Applied Mathematics and Computation no 3, 16 janvier 2004 , p. 645-667 (en) Leonard Lewin, Polylogarithms and Associated Functions , Elsevier North Holland, 1981 (lire en ligne ) , chap. 7.9 (« The Log-Sine Integrals ») (en) Jonathan Borwein et Armin Straub, « Log-sine evaluations of Mahler measures », Journal of the Australian Mathematical Society vol. 92, no 1, 2012 , p. 15-36 (DOI 10.1017/S1446788712000067 lire en ligne ) (en) Derek Orr, « Generalized Log-sine integrals and Bell polynomials », Journal of Computational and Applied Mathematics vol. 347, février 2019 , p. 330–342 (DOI 10.1016/j.cam.2018.08.026 lire en ligne ) (en) Junesang Choi, « Further Log-sine and log-cosine integrals », Journal of the Chungcheng Mathematical Society vol. 26, no 4, juin 2013 (DOI 10.14403/jcms.2013.26.4.769 lire en ligne ) (en) Jonathan M. Borwein et Armin Straub, « Special values of generalized log-sine integrals 2011 .
Voir aussi
![{\displaystyle I(x)=\int _{0}^{\pi }\exp \left[x\ln \left(2\sin {\frac {\theta }{2}}\right)\right]\mathrm {d} \theta }](./88fd23daf196cc4f932ec5fdfdf422f282c144b8.svg)
![{\displaystyle \operatorname {Ls} _{n}(\pi )=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} x^{n}}}\left[2^{x}\mathrm {B} \left({\frac {x+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)\right]\right|_{x=0}}](./3a112c6ea39854c9a56282f928f68540c7535955.svg)
