Inégalités de Turán

En mathématiques, les inégalités de Turán sont des inégalités vérifiées pour les polynômes de Legendre établies par Pál Turán et publié pour la première fois par (Szegö 1948). Il existe de nombreuses généralisations à d'autres familles de polynômes orthogonaux, souvent aussi appelées inégalités de Turán, données par (Beckenbach 1951) et d'autres auteurs.

Si ${\displaystyle P_{n}}$ est le n^e polynôme de Legendre, les inégalités de Turán énoncent que

${\displaystyle \,\!P_{n}(x)^{2}>P_{n-1}(x)P_{n+1}(x)\ {\text{ pour }}\ -1<x<1.}$

Pour ${\displaystyle H_{n}}$, le n^e polynôme d'Hermite, les inégalités de Turán donnent

${\displaystyle H_{n}(x)^{2}-H_{n-1}(x)H_{n+1}(x)=(n-1)!\cdot \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {2^{n-i}}{i!}}H_{i}(x)^{2}>0,}$

tandis que pour les polynômes de Tchebychev, elles donnent

${\displaystyle T_{n}(x)^{2}-T_{n-1}(x)T_{n+1}(x)=1-x^{2}>0\ {\text{ pour }}\ -1<x<1.}$

• Inégalité d'Askey-Gasper
• Théorème de Sturm

• (en) E. F. Beckenbach, W. Seidel et Otto Szász, « Recurrent determinants of Legendre and of ultraspherical polynomials », Duke Mathematical Journal, vol. 18, n^o 1,‎ 1^er mars 1951, p. 1-10 (ISSN 0012-7094, DOI 10.1215/S0012-7094-51-01801-7, MR 0040487, lire en ligne, consulté le 18 août 2025)
• (en) G. Szegö, « On an inequality of P. Turán concerning Legendre polynomials », Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 54, n^o 4,‎ 1948, p. 401–405 (ISSN 0273-0979 et 1088-9485, DOI 10.1090/S0002-9904-1948-09017-6 , MR 0023954, lire en ligne, consulté le 18 août 2025)
• (en) Paul Turán, « On the zeros of the polynomials of Legendre », Časopis pro pěstování matematiky a fysiky, vol. 075, n^o 3,‎ 1950, p. 113–122 (ISSN 1802-114X, DOI 10.21136/CPMF.1950.123879 , MR 0041284, lire en ligne, consulté le 18 août 2025)

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