Hypographe

Soit ${\displaystyle f}$ une fonction définie sur un ensemble ${\displaystyle \mathbb {E} }$ à valeurs dans la droite réelle achevée ${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}:=\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}$. L'hypographe de ${\displaystyle f}$ est l'ensemble noté ${\displaystyle \operatorname {hyp} \,f}$ et défini par

L'hypographe strict de ${\displaystyle f}$ est l'ensemble noté ${\displaystyle \operatorname {hyp} _{s}\,f}$ et défini par

L'hypographe permet de transférer aux fonctions des notions définies pour les ensembles. Par exemple, si ${\displaystyle \mathbb {E} }$ est un espace vectoriel, l'application ${\displaystyle f:\mathbb {E} \to {\bar {\mathbb {R} }}}$ est concave si son hypographe est convexe.

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