Groupe de Cremona

En géométrie birationnelle, le groupe de Cremona, nommé d'après Luigi Cremona, est le groupe des automorphismes birationnels de l'espace projectif de dimension ${\displaystyle n}$ sur un corps ${\displaystyle k}$, également connus sous le nom de transformations de Cremona. Il est désigné par ${\displaystyle Cr(\mathbb {P} ^{n}(k))}$, ${\displaystyle Bir(\mathbb {P} ^{n}(k))}$ ou ${\displaystyle Cr_{n}(k)}$.

Le groupe de Cremona est introduit par le mathématicien italien Luigi Cremona^[1]. Cependant, certains historiens considèrent Isaac Newton comme un « fondateur de la théorie des transformations de Cremona » grâce à ses travaux réalisés deux siècles auparavant, en 1667 et 1687^[2],[3]. Hilda Phoebe Hudson apporte également sa contribution dans les années 1900^[4].

Le groupe de Cremona est naturellement identifié au groupe d'automorphismes ${\displaystyle \mathrm {Aut} _{k}(k(x_{1},...,x_{n}))}$ du corps des fonctions rationnelles à ${\displaystyle n}$ indéterminés sur ${\displaystyle k}$. Ici, le corps ${\displaystyle k(x_{1},...,x_{n})}$ est une extension transcendantale pure de ${\displaystyle k}$, de degré de transcendance ${\displaystyle n}$.

Le groupe projectif linéaire (en) ${\displaystyle \mathrm {PGL} _{n+1}}$ est contenu dans ${\displaystyle Cr_{n}}$. Les deux ne sont égaux que lorsque ${\displaystyle n=0}$ ou ${\displaystyle n=1}$, auquel cas le numérateur et le dénominateur d'une transformation doivent être linéaires^[5].

En deux dimensions, Max Noether et Guido Castelnuovo montrent que ${\displaystyle Cr_{2}(\mathbb {C} )}$ est généré par la transformation quadratique standard ainsi que ${\displaystyle \mathrm {PGL} (3,k)}$, bien qu'il y ait une certaine controverse sur la validité de leur preuve. Gizatullin donne en 1983 un ensemble complet de relations pour ces générateurs, ce qui clot la question^[6].

La structure de ce groupe n’est pas encore bien comprise, bien que de nombreux travaux aient été menés pour trouver des éléments ou des sous-groupes de celui-ci.

• Dolgachev et Iskovskikh complètent en 2009 le classification des sous-groupes finis de ${\displaystyle Cr_{2}(\mathbb {C} )}$^[7].
• Cantat et Lamy prouvent en 2010 que pour un corps algébriquement clos ${\displaystyle k}$, le groupe ${\displaystyle Cr_{2}(k)}$ n'est pas simple^[8].
• Blanc prouve en 2010 qu'il est topologiquement simple pour la topologie de Zariski^{[note 1],[9]}.
• Zimmermann calcule en 2018 l'abelianisé de ${\displaystyle Cr_{2}(\mathbb {R} )}$. Cela permet de conclure qu'il y a pas d'analogue du théoreme de Noether–Castelnuovo dans ce contexte^[10].

On sait peu de choses sur la structure du groupe de Cremona en dimension 3 et plus, bien que de nombreux éléments aient été décrits.

Il n'existe pas d'analogue du théorème de Noether-Castelnouvo, car Hudson a montré en 1927 que le groupe de Cremona en dimension au moins 3 n'est pas engendré par ses éléments de degré borné par un entier fixe^[11].

Blanc montre en 2010 que le groupe de Cremona est (linéairement) connexe^[9], répondant ainsi à une question de Serre^[12]. En 2018, Blanc et Zimmermann parviennent à montrer que pour tout corps infini ${\displaystyle k}$, les groupes ${\displaystyle Cr_{n}(k)}$ sont topologiquement simple^{[note 1]} pour la topologie de Zariski, et même pour la topologie euclidienne lorsque ${\displaystyle k}$ est un corps local^[13].

En 2021, Blanc, Lamy et Zimmermann prouvent que lorsque ${\displaystyle k}$ est un sous-corps des nombres complexes et ${\displaystyle n\geq 3}$, alors ${\displaystyle Cr_{n}(k)}$ est un groupe simple^[14]. Cela répond a une question posée par Federigo Enriques en 1894^[10].

Un groupe de De Jonquières est un sous-groupe d'un groupe de Cremona de la forme suivante^[15]. Soit ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$ une base d'une extension transcendante de ${\displaystyle k}$ . Alors un groupe de De Jonquières est le sous-groupe des automorphismes de ${\displaystyle k(x_{1},...,x_{n})}$ laissant le sous-corps ${\displaystyle k(x_{1},...,x_{r})}$ invariant, pour certains ${\displaystyle r\leq n}$. Il a un sous-groupe distingué donné par le groupe de Cremona des automorphismes de ${\displaystyle k(x_{1},...,x_{n})}$ sur le corps ${\displaystyle k(x_{1},...,x_{r})}$, et le groupe quotient est le groupe de Cremona de ${\displaystyle k(x_{1},...,x_{r})}$ sur le corps ${\displaystyle k}$ . Il peut également être considéré comme le groupe des automorphismes birationnels du fibré ${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}\times \mathbb {P} ^{n-r}\to \mathbb {P} ^{r}}$.

Quand ${\displaystyle n=2}$ et ${\displaystyle r=1}$, le groupe de De Jonquières est le groupe des transformations de Cremona fixant un faisceau de droites passant par un point donné, et est le produit semi-direct de ${\displaystyle \mathrm {PGL} _{2}(k)}$ et ${\displaystyle \mathrm {PGL} _{2}(k(t))}$ .

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