Frontière relative d'un convexe

En géométrie, la frontière relative d’un convexe ${\displaystyle C}$ est la frontière de ${\displaystyle C}$ relativement à son enveloppe affine.

Soit un convexe ${\displaystyle C\subset \mathbb {R} ^{n}}$. On note ${\displaystyle \mathrm {aff} (C)}$ son enveloppe affine.

Un point ${\displaystyle x}$ est un point intérieur relatif de ${\displaystyle C}$ s'il existe ${\displaystyle \varepsilon >0}$ tel qu'il existe une boule centrée en ${\displaystyle x}$ et de rayon ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle B(x;\varepsilon )}$ vérifiant ${\displaystyle B(x;\varepsilon )\cap \mathrm {aff} (C)\subset C}$. L'ensemble des points intérieurs relatifs de ${\displaystyle C}$ est l'intérieur relatif de ${\displaystyle C}$, noté ${\displaystyle \mathrm {ir} (C)}$. La frontière relative de ${\displaystyle C}$ est donc égale à ${\displaystyle C\setminus \mathrm {ir} (C)}$.

(en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty et Claude Lemaréchal, Fundamentals of Convex Analysis, Springer Science & Business Media, 6 décembre 2012 (ISBN 978-3-642-56468-0, lire en ligne), p. 34

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