En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, la formule de Grassmann exprime la dimension de la somme de deux sous-espaces vectoriels d'un même espace vectoriel. Plus précisément :
Formule de Grassmann — Soient F et G deux sous-espaces vectoriels d'un même espace vectoriel E. Alors
Si F et G sont de dimensions respectives finies, il en résulte que F + G aussi et que
Deux démonstrations
- Les applications linéaires suivantes :
où la deuxième application est 
et la troisième 
, forment une suite exacte courte. Par conséquent, d'après le théorème du rang (même en dimension infinie) :
La formule de Grassmann en résulte puisque dim(F×G) = dim(F) + dim(G).
- Une autre idée est de remarquer l'analogie de cette formule avec la suivante (valide même pour des ensembles infinis) et de l'en déduire :
Il suffit en effet, pour identifier terme à terme cette équation avec
de choisir une base 
de 
et de la compléter en une base 
de 
d'une part et en une base 
de 
d'autre part : 
sera alors une base de 
et 
sera égal à la base de 
Références
- (en) Michael Artin, Algebra [détail de l’édition], proposition 6.9, p. 103.
- (en) Serge Lang, Algebra, 1965 [détail des éditions], p. 92, exercice 6.
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