Formule de Baker-Campbell-Hausdorff

En mathématiques, la formule de Baker-Campbell-Hausdorff est la solution Z de l'équation :

${\displaystyle \mathrm {e} ^{Z}=\mathrm {e} ^{X}\mathrm {e} ^{Y}}$,

où ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ et ${\displaystyle Z}$ sont des matrices, ou plus généralement des éléments d'une algèbre de Lie d'un groupe de Lie.

Avec les crochets de Lie, la formule de Baker-Campbell-Hausdorff s'écrit^[1] :

${\displaystyle Z=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}([X,[X,Y]]-[Y,[X,Y]])+\ldots }$

Une formule reliée est la formule de Zassenhaus :

${\displaystyle \mathrm {e} ^{X+Y}=\mathrm {e} ^{X}~\mathrm {e} ^{Y}~\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}[X,Y]}~\mathrm {e} ^{{\frac {1}{6}}(2[Y,[X,Y]]+[X,[X,Y]])}~\mathrm {e} ^{{\frac {-1}{24}}([[[X,Y],X],X]+3[[[X,Y],X],Y]+3[[[X,Y],Y],Y])}\cdots }$

Lorsque ${\displaystyle X}$et ${\displaystyle Y}$ commutent, on a ${\displaystyle \mathrm {e} ^{X+Y}=\mathrm {e} ^{X}\mathrm {e} ^{Y}}$.

Lorsque ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$ commutent avec leur commutateur (c'est-à-dire ${\displaystyle [X,[X,Y]]=[Y,[X,Y]]=0}$) le résultat se restreint à la formule dite de Glauber :

${\displaystyle \mathrm {e} ^{X+Y}=\mathrm {e} ^{X}~\mathrm {e} ^{Y}~\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}[X,Y]}}$.

Ce cas particulier est souvent utile en physique quantique avec les opérateurs position et impulsion ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle P}$.

• Algèbre de Lie
• Exponentielle d'une matrice
• Théorème d'Ado, qui permet de ramener le cas des algèbres de Lie au cas matriciel.

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