Fonction de Scorer

Les fonctions de Scorer (du nom du mathématicien R. S. Scorer) sont des fonctions spéciales notées Gi(x) et Hi(x).

Les deux fonction Hi(x) et –Gi(x) résolvent l'équation

${\displaystyle y''(x)-x\ y(x)={\frac {1}{\pi }},}$

et sont données par :

${\displaystyle \mathrm {Gi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\sin \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\mathrm {d} t,}$

${\displaystyle \mathrm {Hi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\exp \left(-{\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,\mathrm {d} t.}$

Les fonctions de Scorer peuvent aussi être définies à l'aide des fonctions d'Airy :

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {Gi} (x)&{}=\mathrm {Bi} (x)\int _{x}^{\infty }\mathrm {Ai} (t)\,\mathrm {d} t+\mathrm {Ai} (x)\int _{0}^{x}\mathrm {Bi} (t)\,\mathrm {d} t,\\\mathrm {Hi} (x)&{}=\mathrm {Bi} (x)\int _{-\infty }^{x}\mathrm {Ai} (t)\,\mathrm {d} t-\mathrm {Ai} (x)\int _{-\infty }^{x}\mathrm {Bi} (t)\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}}$

On a :

${\displaystyle \mathrm {Gi} (0)={\frac {1}{2}}\mathrm {Hi} (0)={\frac {1}{3}}\mathrm {Bi} (0)={\frac {1}{3^{\frac {7}{6}}\Gamma ({\frac {2}{3}})}}\simeq 0,2049755424...}$

${\displaystyle \mathrm {Gi} '(0)={\frac {1}{2}}\mathrm {Hi} '(0)={\frac {1}{3}}\mathrm {Bi} '(0)={\frac {1}{3^{\frac {5}{6}}\Gamma ({\frac {1}{3}})}}\simeq 0,1494294524...}$

• (en) Frank W. J. Olver, Daniel M. Lozier, Ronald F. Boisvert et Charles W. Clark, « Scorer Functions », sur NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010 (ISBN 978-0521192255)

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