Factorielle alternée

En mathématiques, la factorielle alternée d'un entier strictement positif ${\displaystyle n}$ est la valeur absolue de la somme alternée des ${\displaystyle n}$ premières factorielles^[1].

La factorielle alternée de ${\displaystyle n\geqslant 1}$ est définie par :

${\displaystyle \operatorname {fa} (n)=n!-(n-1)!+(n-2)!-\cdots +(-1)^{n-1}=\sum _{i=0}^{n-1}(-1)^{i}(n-i)!=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{n-i}i!\,}$,

d'où la relation de récurrence :

${\displaystyle \operatorname {fa} (n)=n!-\operatorname {fa} (n-1)}$.

Quelle que soit la parité de ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle n!}$ est affecté du signe plus, ${\displaystyle (n-1)!}$ du signe moins, etc. Par exemple ${\displaystyle \operatorname {fa} (3)=1!-2!+3!}$ tandis que ${\displaystyle \operatorname {fa} (6)=-1!+2!-3!+4!-5!+6!}$.

Les premières factorielles alternées sont données par^[2] :

En 1999, Miodrag Zivkovic prouve qu'il n'existe qu'un nombre fini de factorielles alternées qui sont également des nombres premiers, puisque 3 612 703 divise ${\displaystyle \operatorname {fa} (3612702)}$ et divise donc ${\displaystyle \operatorname {fa} (n)}$ pour tout ${\displaystyle n\geqslant }$ 3 612 703^[3]. La factorielle alternée ${\displaystyle \operatorname {fa} (n)}$ est première pour : ${\displaystyle n}$ = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 19, 41, 59, 61, 105, 160, 661^[4],[5]; A noter qu'il existe probablement d'autres valeurs premières qui n'ont pas encore été trouvées.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Alternating factorial » (voir la liste des auteurs).

• (en) Eric W. Weisstein, « Alternating Factorial », sur MathWorld
• Yves Gallot, « On the Number of Primes in a Sequence », revue scientifique,‎ 2015 (lire en ligne [PDF])
• (en) Terence Tao et Ben Joseph Green, « The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions », revue scientifique,‎ 2005 (lire en ligne)
• suite A001272 de l'OEIS de Paul Jobling

• Série alternée des factorielles

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