Fils de l'ancien cycliste professionnel Joël Blévin, il évolue au sein de l'équipe Mutuelle de Seine-et-Marne en 1996 et 1997, après y avoir été stagiaire.
Une fois sa carrière terminée, Fabrice Blévin intègre l'encadrement de la formation Bretagne-Schuller[2]. Il devient ensuite manager du nouveau club amateur La Crêpe de Brocéliande-BLC en 2018, dans le Morbihan[3].