Empilement de cercles dans un cercle

L'empilement de cercles dans un cercle est un problème d'empilement bidimensionnel dont l'objectif est d'empiler des cercles unités identiques de nombre n dans le cercle le plus petit possible.

Le tableau suivant présente une solution minimale (dans le cas où plusieurs solutions minimales existent, une seule variante apparaît dans le tableau)^[1] :

Nombre de cercles unités de nombre n	Rayon du cercle extérieur	Densité	Optimalité	Figure
1	1	1,0000	Trivial
2	2	0,5000	Trivial
3	${\displaystyle 1+{\frac {2}{\sqrt {3}}}\approx 2{,}154...}$	0,6466...	Trivial
4	${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}\approx 2{,}414...}$	0,6864...	Trivial
5	${\displaystyle 1+{\sqrt {2\left(1+{\frac {1}{\sqrt {5}}}\right)}}\approx 2{,}701...}$	0,6854...	Trivial Aussi prouvé optimal par Graham (1968)[2]
6	3	0,6667...	Trivial Aussi prouvé optimal par Graham (1968)[2]
7	3	0,7778...	Trivial
8	${\displaystyle 1+{\frac {1}{\sin \left({\frac {\pi }{7}}\right)}}\approx 3,304...}$	0,7328...	Prouvé optimal par Pirl (1969)[3]
9	${\displaystyle 1+{\sqrt {2\left(2+{\sqrt {2}}\right)}}\approx 3,613...}$	0,6895...	Prouvé optimal par Pirl (1969)[3]
10	3,813...	0,6878...	Prouvé optimal par Pirl (1969)[3]
11	${\displaystyle 1+{\frac {1}{\sin \left({\frac {\pi }{9}}\right)}}\approx 3,923...}$	0,7148...	Prouvé optimal par Melissen (1994)[4]
12	4,029...	0,7392...	Prouvé optimal par Fodor (2000)[5]
13	${\displaystyle 2+{\sqrt {5}}\approx 4,236...}$	0,7245...	Prouvé optimal par Fodor (2003)[6]
14	4,328...	0,7474...	Conjecturé optimal[7]
15	${\displaystyle 1+{\sqrt {6+{\frac {2}{\sqrt {5}}}+4{\sqrt {1+{\frac {2}{\sqrt {5}}}}}}}\approx 4,521...}$	0,7339...	Conjecturé optimal[7]
16	4,615...	0,7512...	Conjecturé optimal[7]
17	4,792...	0,7403...	Conjecturé optimal[7]
18	${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}\approx 4,863...}$	0,7611...	Conjecturé optimal[7]
19	${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}\approx 4,863...}$	0,8034...	Prouvé optimal par Fodor (1999)[8]
20	5,122...	0,7623...	Conjecturé optimal[7]

• "The best known packings of equal circles in a circle (complet jusqu'à N = 2600)"
• "Calculatrice : "How many circles can you get in order to minimize the waste?"
• Packomania jusqu'à 2600 cercles.

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