Cycle limite

Dans le domaine des systèmes dynamiques, un cycle limite, ou cycle-limite sur un plan ou une variété bidimensionnelle est une trajectoire fermée dans l'espace des phases, telle qu'au moins une autre trajectoire spirale à l'intérieur lorsque le temps tend vers ${\displaystyle \pm \infty }$.

Ces comportements s'observent dans certains systèmes non linéaires. Si toutes les trajectoires voisines approchent le cycle limite lorsque t ${\displaystyle \rightarrow +\infty }$, on parle de cycle limite stable ou attractif.

Les cycles limites stables impliquent des oscillations maintenues. Toute perturbation qui éloignerait la trajectoire du cycle limite s'atténuerait avec le temps, pour revenir à ce cycle limite quand ${\displaystyle t\to \infty }$.

On peut observer un cycle limite stable pour l'oscillateur de Van der Pol. Toutes les trajectoires tendent à former une figure fermée : le système a tendance à maintenir des oscillations.

Le nombre de cycles limites d'une équation différentielle polynomiale fait l'objet de la seconde partie du seizième problème de Hilbert. Le théorème de Poincaré-Bendixson et celui de Bendixson-Dulac (en) prédisent l'existence, respectivement l'absence, de cycles limites pour les équations différentielles non linéaires en deux dimensions.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Limit cycle » (voir la liste des auteurs).

• Étienne Ghys, « L'histoire mouvementée des cycles limites », Pour la Science,‎ 2011 (dossier n°73) (lire en ligne)
• (en) Philip Hartman, Ordinary Differential Equations, SIAM, 2002 (lire en ligne)
• (en) Witold Hurewicz, Lectures on Ordinary Differential Equations, Dover, 2002 (lire en ligne)
• (en) Solomon Lefschetz, Differential Equations: Geometric Theory, Dover, 2005
• (en) Lawrence Perko, Differential Equations and Dynamical Systems, Springer-Verlag, 2006
• Lev Pontriaguine, Équations différentielles ordinaires, Mir, Moscou, 1969
• (en) Steven H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, Addison-Wesley, 1994
• (en) M. Vidyasagar (en), Nonlinear Systems Analysis, Prentice Hall, 2002, 2^e éd. (lire en ligne)

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