Constellation de nombres premiers

En mathématiques, une constellation de nombres premiers est un n-uplet de nombres premiers consécutifs, remplissant de plus une condition d’admissibilité l'autorisant à former une famille infinie ; cette notion généralise celle de nombres premiers jumeaux, ou cousins, ou encore triplés.

Une constellation est appelée un n-uplet-premier^[1] ("prime n-tuplet" en anglais) si la différence entre le premier et le dernier terme de ses éléments est la plus petite possible pour une forme admissible donnée.

La conjecture des constellations affirme que pour toute forme admissible donnée, il existe une infinité de constellations associées^[1].

Une constellation de nombres premiers est un n-uplet de nombres premiers consécutifs de la forme ${\displaystyle (p,p+a_{2},\cdots ,p+a_{n})}$, vérifiant de plus la condition d'admissibilité suivante : pour tout nombre premier ${\displaystyle q\leqslant n}$, les résidus modulo ${\displaystyle q}$ de ${\displaystyle a_{1}=0,a_{2},\cdots ,a_{n}}$ ne recouvrent pas les ${\displaystyle q}$ résidus possibles ; si cette condition n'est pas vérifiée, il existe pour tout ${\displaystyle p}$ un nombre premier dont l'un des termes de ${\displaystyle (p,p+a_{2},\cdots ,p+a_{n})}$ est multiple, et la famille correspondante est forcément finie. Par exemple, ${\displaystyle (p,p+2,p+4)}$ n'est pas une forme admissible de constellation car l'un des termes est forcément divisible par 3 ; par contre, ${\displaystyle (p,p+2,p+6)}$ en est une, car le seul résidu modulo 2 représenté dans ${\displaystyle (0,2,6)}$ est 0 et les deux seuls résidus modulo 3 représentés sont 0 et 2.

On définit ${\displaystyle d(n)}$ comme le plus petit nombre ${\displaystyle d}$ pour lequel il existe ${\displaystyle n}$ entiers > 0 : ${\displaystyle a_{1}=0<a_{2}<\cdots <a_{n}}$, ${\displaystyle a_{n}=d}$ , ${\displaystyle (0,a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n})}$ ne donnant pas tous les résidus possibles modulo un nombre premier^[2]. Une constellation de la forme ${\displaystyle (p,p+a_{2},\cdots ,p+a_{n})}$ est dite minimale si son "diamètre" ${\displaystyle a_{n}}$ est égal à ${\displaystyle d(n)}$, et appelée un n-uplet-premier ("prime n-tuplet" en anglais)^[1].

Les constellations sont de la forme ${\displaystyle (p,p+2k)}$ et on a ${\displaystyle s(2)=2}$.

forme	nom	premier couple	OEIS
${\displaystyle (p,p+2)}$	nombres premiers jumeaux	${\displaystyle (3,5)}$	A077800
${\displaystyle (p,p+4)}$	nombres premiers cousins (excepté (3, 7))	${\displaystyle (7,11)}$	A111980
${\displaystyle (p,p+6)}$	nombres premiers sexys dont les intermédiaires sont tous composés	${\displaystyle (23,29)}$	A031924 (pour ${\displaystyle p}$)  A031925 (pour ${\displaystyle p+6}$)

On a ${\displaystyle s(3)=6}$.

forme	nom	premier triplet	OEIS
${\displaystyle (p,p+2,p+6)}$	triplet-premier du premier type	${\displaystyle (5,7,11)}$	A275515
${\displaystyle (p,p+4,p+6)}$	triplet-premier du second type	${\displaystyle (7,11,13)}$	A275516
${\displaystyle (p,p+6,p+12)}$	progression arithmétique de raison 6	${\displaystyle (47,53,59)}$	A128940

On a ${\displaystyle s(4)=8}$.

forme	nom	premier quadruplet	OEIS
${\displaystyle (p,p+2,p+6,p+8)}$	quadruplet-premier	${\displaystyle (5,7,11,13)}$	A136162
${\displaystyle (p,p+6,p+12,p+18)}$	progression arithmétique de raison 6	${\displaystyle (251,257,263,269)}$	A033449

On a ${\displaystyle s(5)=12}$.

forme	nom	premier quintuplet	OEIS
${\displaystyle (p,p+4,p+6,p+10,p+12)}$	quintuplet-premier du premier type	${\displaystyle (7,11,13,17,19)}$	A270999
${\displaystyle (p,p+2,p+6,p+8,p+12)}$	quintuplet-premier du second type	${\displaystyle (5,7,11,13,17)}$	A270998

On a ${\displaystyle s(6)=16}$.

forme	nom	premier quintuplet	OEIS
${\displaystyle (p,p+4,p+6,p+10,p+12,p+16)}$	sextuplet-premier	${\displaystyle (7,11,13,17,19,23)}$	A271000

La suite ${\displaystyle (s(n))}$ continue ainsi : ${\displaystyle s(7)=20,s(8)=26,s(9)=30,...}$ (suite A008407 de l'OEIS).

Un exemple de constellation minimale avec ${\displaystyle n=9}$ est ${\displaystyle (p,p+4,p+10,p+12,p+18,p+22,p+24,p+28,p+30)}$ avec comme premier terme : ${\displaystyle (88789,88793,88799,88801,88807,88811,88813,88817,88819)}$.

Une constellation de nombres premiers consécutifs de la forme ${\displaystyle (p,p+r,p+2r,\dots ,p+(n-1)r)}$ est appelée une progression arithmétique forte de nombres premiers^[3]. Pour qu'un tel n-uplet réponde au test d'admissibilité, la raison r doit être un multiple des nombres premiers ${\displaystyle \leqslant n}$ donc de la primorielle de n.

On a indiqué ci-dessus les exemples ${\displaystyle n=3,r=6}$ et ${\displaystyle n=4,r=6}$ ; pour des quintuplets, une raison 6 n'est plus possible (voir les nombres premiers sexys), la raison minimale est égale à 30.

La conjecture des constellations^[1], liée à la première conjecture de Hardy-Littlewood (en), énonce que pour toute forme admissible donnée, il existe une infinité de constellations associées. Elle généralise la conjecture de Polignac qui énonce que, pour tout ${\displaystyle k}$, il existe une infinité de constellations de type ${\displaystyle (p,p+2k)}$, elle-même généralisant la conjecture des nombres premiers jumeaux.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Prime k-tuple » (voir la liste des auteurs).

• Théorème de la progression arithmétique, théorème de Green-Tao, conjecture de Dickson.
• Nombre de Skewes

• (en) Eric W. Weisstein, « Prime Constellation », sur MathWorld

• Arithmétique et théorie des nombres