Cohomologie des faisceaux

La cohomologie d'un faisceau ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ est une cohomologie définie par les résolutions injectives de ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$.

Les groupes de cohomologie ${\displaystyle H^{k}(X,{\mathcal {F}})}$ d'un faisceau ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ de groupes abéliens sont les groupes de cohomologie du complexe de cochaines :

${\displaystyle \dots \rightarrow \Gamma (X,I^{k-1})\rightarrow \Gamma (X,I^{k})\rightarrow \Gamma (X,I^{k+1})\rightarrow \dots }$

où ${\displaystyle {\mathcal {F}}\rightarrow I^{*}}$ est une résolution injective du faisceau ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, et ${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {A}})}$ désigne le groupe abélien des sections globales de ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. À unique isomorphisme canonique près, ces groupes ne dépendent pas de la résolution injective choisie.

• Le zéroième groupe ${\displaystyle H^{0}(X,{\mathcal {F}})}$ est canoniquement isomorphe à ${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {F}})}$.
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ est dit acyclique si tous ses autres groupes de cohomologie sont triviaux.
• Tout morphisme ${\displaystyle \Phi :{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}$ induit des homomorphismes de groupes abéliens canoniquement définis :

${\displaystyle \Phi _{*}:H^{k}(X,{\mathcal {A}})\rightarrow H^{k}(X,{\mathcal {B}})}$

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