Changement de base (algèbre linéaire)

En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, une matrice de passage (ou encore matrice de changement de base) permet d'écrire des formules de changement de base pour les représentations matricielles des vecteurs, des applications linéaires et des formes bilinéaires.

Soient K un corps commutatif, E un K-espace vectoriel de dimension finie n, et B, B' deux bases de E.

La matrice de passage de B à B', notée ${\displaystyle \mathrm {P_{B}^{B'}} }$, est la matrice représentative de l'application identité Id_E, de E muni de la base B' dans E muni de la base B :

• ${\displaystyle \mathrm {P_{B}^{B'}} ={\mathcal {M}}_{\mathrm {B} ',\mathrm {B} }(\mathrm {Id_{E}} )}$^[1].

Autrement dit :

• si un même vecteur de E a pour coordonnées les matrices colonnes X dans B et X' dans B', alors ${\displaystyle \mathrm {X} =\mathrm {P_{B}^{B'}} \mathrm {X} '}$^[1]

ou, ce qui est équivalent :

• ${\displaystyle \mathrm {P_{B}^{B'}} }$ est égal à ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\mathrm {B} }(\mathrm {B} ')}$, c.-à-d. que ses colonnes sont les coordonnées des vecteurs de B', exprimés dans la base B^[1].

Pour des raisons mnémotechniques, on qualifie B' de nouvelle base, B d'ancienne base. On observera que dans les deux premières descriptions données, les bases interviennent dans l'ordre opposé à celui de la terminologie. La troisième peut être détaillée ainsi : si ${\displaystyle \mathrm {B} =(e_{1},\ldots ,e_{n})}$ et ${\displaystyle \mathrm {B} '=(e'_{1},\ldots ,e'_{n})}$ où ${\displaystyle e'_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}e_{i}}$ pour ${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$, alors

${\displaystyle \mathrm {P_{B}^{B'}} =(a_{i,j})_{i,j=1}^{n}\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {K} )}$.

Comme déjà mentionné, si un vecteur de E a pour coordonnées X et X' dans deux bases B et B', alors ${\displaystyle \mathrm {X} =\mathrm {P_{B}^{B'}} \mathrm {X} '}$.

Considérons l'espace euclidien ℝ³ muni de sa base canonique B(e₁, e₂, e₃), « ancienne base », orthonormée directe.

Homothétie

La nouvelle base B'(e'₁, e'₂, e'₃) est obtenue par une homothétie de facteur k. On a ainsi :

e'₁ = k e₁ ;

e'₂ = k e₂ ;

e'₃ = k e₃.

La matrice de passage s'écrit

${\displaystyle \mathrm {P_{B}^{B'}} ={\begin{pmatrix}k&0&0\\0&k&0\\0&0&k\\\end{pmatrix}}}$

Soit un vecteur x de composantes (X₁, X₂, X₃) dans B et (X'₁, X'₂, X'₃) dans B'. On a :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathrm {X} _{1}\\\mathrm {X} _{2}\\\mathrm {X} _{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}k&0&0\\0&k&0\\0&0&k\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {X} '_{1}\\\mathrm {X} '_{2}\\\mathrm {X} '_{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}k\mathrm {X} '_{1}\\k\mathrm {X} '_{2}\\k\mathrm {X} '_{3}\\\end{pmatrix}}}$

Rotation de la base

La nouvelle base B'(e'₁, e'₂, e'₃) est obtenue par rotation d'un angle α autour de l'axe e₃. On a ainsi :

e'₁ = cos(α) e₁ + sin(α) e₂ ;

e'₂ = –sin(α) e₁ + cos(α) e₂ ;

e'₃ = e₃.

La matrice de passage s'écrit

${\displaystyle \mathrm {P_{B}^{B'}} ={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

Soit un vecteur x de composantes (X₁, X₂, X₃) dans B et (X'₁, X'₂, X'₃) dans B'. On a :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathrm {X} _{1}\\\mathrm {X} _{2}\\\mathrm {X} _{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {X} '_{1}\\\mathrm {X} '_{2}\\\mathrm {X} '_{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(\cos \alpha )\mathrm {X} '_{1}-(\sin \alpha )\mathrm {X} '_{2}\\(\sin \alpha )\mathrm {X} '_{1}+(\cos \alpha )\mathrm {X} '_{2}\\\mathrm {X} '_{3}\\\end{pmatrix}}}$

Soient B et B' deux bases de E. Alors ${\displaystyle \mathrm {P_{B}^{B'}} }$ est inversible et

${\displaystyle \left(\mathrm {P_{B}^{B'}} \right)^{-1}=\mathrm {P_{B'}^{B}} }$.

En effet, d'après la règle de calcul de la matrice d'une composée :

${\displaystyle \mathrm {P_{B}^{B'}} \mathrm {P_{B'}^{B}} ={\mathcal {M}}_{\mathrm {B'} ,\mathrm {B} }(\mathrm {Id_{E}} ){\mathcal {M}}_{\mathrm {B} ,\mathrm {B'} }(\mathrm {Id_{E}} )={\mathcal {M}}_{\mathrm {B} ,\mathrm {B} }(\mathrm {Id_{E}} )=\mathrm {I} _{n}}$.

Reprenons les exemples ci-dessus.

Homothétie

La matrice inverse s'obtient simplement en remplaçant k par 1/k, soit :

${\displaystyle \mathrm {P_{B'}^{B}} ={\begin{pmatrix}1/k&0&0\\0&1/k&0\\0&0&1/k\\\end{pmatrix}}}$

et donc

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathrm {X} '_{1}\\\mathrm {X} '_{2}\\\mathrm {X} '_{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1/k&0&0\\0&1/k&0\\0&0&1/k\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {X} _{1}\\\mathrm {X} _{2}\\\mathrm {X} _{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathrm {X} _{1}/k\\\mathrm {X} _{2}/k\\\mathrm {X} _{3}/k\\\end{pmatrix}}}$.

Rotation

La matrice inverse s'obtient simplement en remplaçant α par –α, soit :

${\displaystyle \mathrm {P_{B'}^{B}} ={\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha &0\\-\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}}$

(on remarque que c'est la transposée, P_B'^B = ^tP_B^B') et donc

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathrm {X} '_{1}\\\mathrm {X} '_{2}\\\mathrm {X} '_{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \alpha &\sin \alpha &0\\-\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathrm {X} _{1}\\\mathrm {X} _{2}\\\mathrm {X} _{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(\cos \alpha )\mathrm {X} _{1}+(\sin \alpha )\mathrm {X} _{2}\\-(\sin \alpha )\mathrm {X} _{1}+(\cos \alpha )\mathrm {X} _{2}\\\mathrm {X} _{3}\\\end{pmatrix}}}$.

Soient ${\displaystyle {\mathcal {E}},{\mathcal {E}}'}$ deux bases de E et ${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {F}}'}$ deux bases de F, ${\displaystyle f:\mathrm {E} \to \mathrm {F} }$ une application linéaire, de matrices A dans les bases ${\displaystyle {\mathcal {E}},{\mathcal {F}}}$ et B dans les bases ${\displaystyle {\mathcal {E}}',{\mathcal {F}}'}$, alors

${\displaystyle \mathrm {B} =\mathrm {Q} ^{-1}\mathrm {A} \mathrm {P} }$

où

P est la matrice de passage de ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ à ${\displaystyle {\mathcal {E}}'}$ et

Q est la matrice de passage de ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ à ${\displaystyle {\mathcal {F}}'}$.

En effet, ${\displaystyle \mathrm {Q} ^{-1}\mathrm {A} \mathrm {P} ={\mathcal {M}}_{{\mathcal {F}}',{\mathcal {F}}}^{-1}(\mathrm {Id_{F}} )[{\mathcal {M}}_{{\mathcal {E}},{\mathcal {F}}}(f){\mathcal {M}}_{{\mathcal {E}}',{\mathcal {E}}}(\mathrm {Id_{E}} )]={\mathcal {M}}_{{\mathcal {F}},{\mathcal {F}}'}(\mathrm {Id_{F}} ){\mathcal {M}}_{{\mathcal {E}}',{\mathcal {F}}}(f)={\mathcal {M}}_{{\mathcal {E}}',{\mathcal {F}}'}(f)=\mathrm {B} }$.

Les matrices A et B sont alors dites équivalentes.

Dans le cas particulier d'un endomorphisme (i.e. F = E), si l'on choisit ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {E}}}$ et ${\displaystyle {\mathcal {F}}'={\mathcal {E}}'}$ (donc Q = P), les matrices A et B sont dites semblables.

Soient ${\displaystyle {\mathcal {E}},{\mathcal {E}}'}$ deux bases de E, P la matrice de passage de ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ à ${\displaystyle {\mathcal {E}}'}$, et φ une forme bilinéaire sur E, de matrices A dans ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ et B dans ${\displaystyle {\mathcal {E}}'}$. Alors^[2]

${\displaystyle \mathrm {B} =^{\operatorname {t} }\!\mathrm {P} \mathrm {A} \mathrm {P} }$,

où ^tP désigne la matrice transposée de P.

Les matrices A et B sont alors dites congruentes.

Il arrive que l'on considère une forme bilinéaire φ définie non pas sur E×E mais sur E×F où F est un espace vectoriel non nécessairement égal à E. Si ${\displaystyle {\mathcal {E}},{\mathcal {E}}'}$ sont deux bases de E avec matrice de passage P, et ${\displaystyle {\mathcal {F}},{\mathcal {F}}'}$ deux bases de F avec matrice de passage Q, la formule de changement de bases devient :

${\displaystyle \mathrm {B} =^{\operatorname {t} }\!\mathrm {P} \mathrm {A} \mathrm {Q} }$.

On peut également considérer une forme sesquilinéaire au lieu d'une forme bilinéaire. Dans ce cas, il faut remplacer, dans les formules, la transposée de la matrice de passage par sa matrice adjointe.

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