Arc cosinus

Fonction arc cosinus

Représentation graphique (dans un repère non normé).

Notation	${\displaystyle \arccos(x)}$
Réciproque	${\displaystyle \cos(x)}$ sur [0 ; π]
Dérivée	${\displaystyle {\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
Primitives	${\displaystyle x\,\arccos(x)-{\sqrt {1-x^{2}}}+C}$

Principales caractéristiques

Ensemble de définition	[−1 ; 1]
Ensemble image	[0 ; π]

En mathématiques, l’arc cosinus d'un nombre réel compris au sens large entre −1 et 1 est l'unique mesure d'angle dont le cosinus vaut ce nombre, entre l'angle nul (0° ou 0 rad) et l'angle plat (180° ou ${\displaystyle \pi }$ rad).

La fonction qui associe à tout nombre réel compris au sens large entre −1 et 1 la valeur de son arc cosinus en radians est notée ${\displaystyle \arccos }$ (${\displaystyle \operatorname {Arccos} }$^[1] ou ${\displaystyle \operatorname {Acos} }$ en notation française, et ${\displaystyle \cos ^{-1}}$, parfois ${\displaystyle \operatorname {acos} }$ ou ${\displaystyle \operatorname {acs} }$ , en notation anglo-saxonne).

Il s'agit alors de la réciproque de la fonction trigonométrique cosinus sur l'intervalle ${\displaystyle [0;\pi ]}$ donc, dans un repère cartésien orthonormé du plan, la courbe représentative de l'arc cosinus s'obtient à partir de la courbe de la restriction du cosinus par la symétrie d'axe la droite d'équation ${\displaystyle y=x}$.

La fonction ${\displaystyle \arccos :[-1,1]\rightarrow [0,\pi ]}$ est définie comme la fonction réciproque de ${\displaystyle \cos }$ sur ${\displaystyle [0,\pi ]}$, c'est-à-dire qu'il s'agit de l'unique fonction telle que :

$${\displaystyle \forall x\in [0,\pi ]\quad \arccos(\cos x)=x.}$$

En langue naturelle : Pour tout ${\displaystyle x}$ inclus dans l'intervalle de ${\displaystyle 0}$ à π, l'image de la fonction arc cosinus sur l'antécédent cosinus de ${\displaystyle x}$, est ${\displaystyle x}$.

-1 et 1 sont les valeurs minimales et maximales du rapport entre la coordonnée en abscisse du point placé sur le cercle unité, et le rayon du cercle.

Contrairement aux fonctions arc sinus et arc tangente, la fonction ${\displaystyle \arccos }$ n'admet aucune parité. En revanche, elle possède la propriété suivante^[2] : $${\displaystyle \forall x\in [-1,1]\quad \arccos(-x)=\pi -\arccos x.}$$

Pour ${\displaystyle X=\arccos x}$, on a ${\displaystyle \sin X\geq 0}$ (car ${\displaystyle X\in [0,\pi ]}$) et ${\displaystyle \cos ^{2}X+\sin ^{2}X=1}$, donc^{[réf. souhaitée]} : $${\displaystyle \sin(\arccos x)={\sqrt {1-x^{2}}}.}$$

Partant de n'importe quelle formule trigonométrique, on peut l'« inverser », obtenant une relation entre valeurs des fonctions réciproques, mais qui ne sera le plus souvent valable que dans des intervalles restreints. Par exemple, puisque ${\displaystyle \cos 2x=2\cos ^{2}x-1}$, on a ${\displaystyle \arccos \left(2X^{2}-1\right)=2\arccos X}$, mais seulement pour ${\displaystyle X\in [0,1]}$^{[réf. souhaitée]}.

Comme dérivée d'une fonction réciproque, ${\displaystyle \arccos }$ est dérivable sur ${\displaystyle ]-1;1[}$ et vérifie^[3] : $${\displaystyle \arccos 'x={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$$

Cette formule s'obtient grâce au théorème sur la dérivée d'une fonction réciproque et à la relation avec le sinus (voir supra).

Cette fonction peut s'écrire sous la forme d'une intégrale indéfinie^[4] : $${\displaystyle \arccos x=\int _{1}^{x}-{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t.}$$

Les primitives de la fonction ${\displaystyle \arccos }$ s'obtiennent par intégration par parties^[5] : $${\displaystyle \int \arccos(x)~\mathrm {d} x=x\arccos(x)-{\sqrt {1-x^{2}}}+C.}$$

$${\displaystyle \arccos x+\arcsin x={\frac {\pi }{2}}}$$

En effet, ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\arccos x}$ est compris entre ${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}}$ et ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$ et son sinus est égal au cosinus de ${\displaystyle \arccos x}$, c'est-à-dire à ${\displaystyle x}$, donc ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\arccos x=\arcsin x}$.

(Pour une autre méthode, voir « Monotonie et signe de la dérivée » de l'article sur les fonctions monotones.)

On peut exprimer la fonction ${\displaystyle \arccos }$ à l’aide du logarithme complexe^[6] : $${\displaystyle \arccos(x)=-\mathrm {i} \,\ln \left(x+\mathrm {i} \,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}\,+\mathrm {i} \ln \left(\mathrm {i} \,x+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x).}$$

• Arc sinus

• Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes :

  • Enciclopedia De Agostini
  • Gran Enciclopèdia Catalana
  • Treccani
• (en) Eric W. Weisstein, « Inverse Cosine », sur MathWorld
• (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, 1046 p. (lire en ligne ), chap. 4.4 (« Inverse Circular Functions. »)

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