Chez les amateurs, Antonio Cosme se distingue lors de la saison 2005 en remportant le Tour de Valladolid. Il passe ensuite professionnel en 2006 au sein de l'équipe continentale Viña Magna-Cropu. Au mois de septembre, il termine vingtième du Tour de l'Avenir.
En 2008, il signe au Portugal au sein de la formation Madeinox-Boavista. Dans le calendrier local, il remporte le classement final de la Volta à Albufeira[1],[2] et une étape du Prémio Rota dos Vinhos Verdes.