Anneau intégralement clos

En algèbre commutative, un anneau intégralement clos est un anneau intègre A qui est sa propre clôture intégrale dans son corps des fractions, c'est-à-dire que, pour tout p et tout q non nul appartenant à A, si p/q est racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans A alors p/q appartient à A.

• Tout corps algébriquement clos est intégralement clos.
• Tout anneau intègre à PGCD est intégralement clos^[1], ce qui est le cas de tout anneau factoriel et de tout anneau de Bézout, en particulier (à double titre) de tout anneau principal, donc de tout anneau euclidien comme l'anneau Z.

• Pour tout entier ${\displaystyle d\in \mathbb {Z} }$ sans facteur carré, l'anneau ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]}$ est intégralement clos si et seulement si ${\displaystyle d}$ n'est pas congru à ${\displaystyle 1}$ modulo ${\displaystyle 4}$.
• Plus généralement, un anneau intègre A, de corps des fractions K, est intégralement clos si et seulement si tout polynôme unitaire irréductible de A[X] reste irréductible dans K[X]^[2].
• Un anneau de Dedekind est intégralement clos (par définition).
• En fait, un anneau intègre est intégralement clos si et seulement si c'est une intersection d'anneaux de valuation pour son corps des fractions^[3].

La clôture intégrale d'un anneau ${\displaystyle A}$ est le plus petit anneau intégralement clos contenant ${\displaystyle A}$.

• Tout anneau intégralement clos est sa propre clôture intégrale.
• Pour tout entier ${\displaystyle d}$ sans facteur carré congru à ${\displaystyle 1}$ modulo ${\displaystyle 4}$, la clôture intégrale de l'anneau ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]}$ est ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {d}}}{2}}]}$.
• Pour tout corps de nombre ${\displaystyle K}$, la clôture intégrale de ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ est l'anneau des entiers ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ de ${\displaystyle K}$. Pour tout entier ${\displaystyle d}$ sans facteur carré, l'anneau des entiers de ${\displaystyle Q({\sqrt {d}})}$ est ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]}$ si ${\displaystyle d}$ n'est pas congru à ${\displaystyle 1}$ modulo ${\displaystyle 4}$ et ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\frac {1+{\sqrt {d}}}{2}}]}$ sinon.

• Portail de l’algèbre