Algèbre de Ringel-Hall

En mathématiques, une algèbre de Ringel-Hall est une généralisation de l'algèbre de Hall, introduite et étudiée par Claus Michael Ringel^[1]. Elle admet une base indexée par les classes d'isomorphie d'objets d'une catégorie abélienne, et les constantes de structure de cette base sont liées au nombre d'extensions des objets dans la catégorie.

Un exemple caractéristique est la catégorie des représentations d'un carquois de type fini sur un corps fini. Le but de Ringel était de donner une interprétation naturelle des constantes de structure des groupes quantiques, du moins de leur partie positive ${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {n}}^{+})}$. Il s'agit d'une situation de catégorification.

• George Lusztig, « Quivers, perverse sheaves, and quantized enveloping algebras », Journal of the American Mathematical Society, vol. 4, n^o 2,‎ 1991, p. 365-421 (DOI 10.1090/S0894-0347-1991-1088333-2, JSTOR 2939279, MR 1088333, CiteSeer^x 10.1.1.454.3334)
• Claus Michael Ringel, « Hall algebras and quantum groups », Inventiones Mathematicae, vol. 101, n^o 3,‎ 1990, p. 583-591 (DOI 10.1007/BF01231516, Bibcode 1990InMat.101..583R, MR 1062796, S2CID 120480847, lire en ligne)
• Olivier Schiffmann, Lectures on Hall algebras, Paris, Société mathématique de France, coll. « Séminaires et congrès » (n^o 24-II), 2012, 141 p. (arXiv math/0611617, présentation en ligne)

• Andrew W. Hubery, « Introduction to Ringel–Hall algebras », sur université de Bielefeld

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