Álex Díaz est originaire d'Urretxu, une localité située au Pays basque[1],[2]. Durant sa jeunesse, il se consacre à divers sports comme la pelote, le football et le vélo. Il finit toutefois par opter pour cette dernière discipline dans les rangs cadets. Sa première licence cycliste est prise dans un club du Goierri[2].
En 2020 et 2021, il porte les couleurs du club Grupo Eulen. Il intègre ensuite le Baqué Cycling Team, basé à Durango. Avec cette formation, il décroche divers tops dix des courses du calendrier basque. Il termine par ailleurs troisième d'une manche de la Coupe d'Espagne amateurs en 2023[2].