Équation intégro-différentielle

En analyse fonctionnelle, une équation intégro-différentielle ou équation intégrodifférentielle est une équation qui fait intervenir à la fois les dérivées d'une fonction et ses intégrales.

Une équation intégro-différentielle du premier ordre peut s'écrire sous la forme

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}(x)+\int _{x_{0}}^{x}f(t,u(t))\,\mathrm {d} t=g(x,u(x)).}$

La résolution exacte d'une telle équation est souvent difficile et passe souvent par l'utilisation des transformations (transformation de Laplace, Fourier…)

En astrophysique, l'équation de Schwarzschild-Milne, qui décrit la diffusion de la lumière dans les atmosphère stellaires, est intégro-différentielle.

En économie, la représentation de Lévy-Khintchine d'un processus de Lévy se base sur une équation intégro-différentielle.

Les équations intégro-différentielles modélisent également les équations caractéristiques de circuits électriques. Par la loi des mailles, la somme des différences de potentiel le long d'une maille fermée est égale à la tension appliquée ${\displaystyle E(t)}$. Par exemple, un circuit RLC est régie par $${\displaystyle L{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}I(t)+RI(t)+{\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}I(\tau )\mathrm {d} \tau =E(t),}$$ avec ${\displaystyle I(t)}$ le courant électrique en fonction du temps, ${\displaystyle R}$ la résistance, ${\displaystyle L}$ l'inductance et ${\displaystyle C}$ la capacité électrique^[1].

L'équation de Whitham est utilisée pour modéliser des ondes dispersives non-linéaires en dynamique des fluides^[2].

Les équations intégro-différentielles ont aussi des applications en épidémiologie, particulièrement les modèles prenant en compte une pyramide des âges^[3] ou décrivant des épidémies dans l'espace^[4]. La théorie de Kermack-McKendrick de transmission des maladies infectieuses est un exemple particulier où la pyramide des âges de la population est prise en compte dans le cadre de la modélisation.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Integro-differential equation » (voir la liste des auteurs).

• Vito Volterra, « Sur les équations intégro-différentielles et leurs intégrations », dans Acta Mathematica, vol. 35, Rome, 1912

• Portail de l'analyse