Équation différentielle d'Euler

En mathématiques, l'équation d'Euler ou équation de Cauchy-Euler est une équation différentielle linéaire de la forme suivante :

${\displaystyle a_{n}x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\ldots +a_{0}y(x)=f(x)\,\qquad (a_{n}\neq 0).}$

Elle peut être ramenée par changement de variable à une équation différentielle linéaire à coefficients constants.

Pour appliquer la théorie générale des équations linéaires, on s'intéresse dans un premier temps à l'équation homogène associée, et en se plaçant sur un intervalle où xⁿ ne s'annule pas : ${\displaystyle ]-\infty ,0[}$ ou ${\displaystyle ]0,+\infty [}$. Dans le premier cas on posera le changement de variable x = – e^u et dans le second x = e^u. On pose ensuite g(u) = y(e^u). Grâce à ces changements de variables, l'équation différentielle d'Euler est alors ramenée à une équation différentielle à coefficients constants, en g, qu'on peut résoudre explicitement.

Un cas commun de l'équation de Cauchy est celui du second ordre (n=2), qui apparaît dans plusieurs problèmes physiques comme la résolution de l'équation de Laplace en coordonnées polaires. On peut donc ramener l'équation à la forme

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+ax{\frac {dy}{dx}}+by=0.}$

On cherche donc une solution simple de la forme

${\displaystyle y=x^{m}}$

et il faut dès lors trouver les valeurs de m vérifiant

${\displaystyle x^{2}(m(m-1)x^{m-2})+ax(mx^{m-1})+b(x^{m})=0.}$

La recherche des solutions m de l'équation du second degré

${\displaystyle m^{2}+(a-1)m+b=0}$

amène classiquement à trois cas :

• deux racines réelles distinctes m₁ et m₂ ;
• une racine double m ;
• deux racines complexes conjuguées α ± β i.

Le cas 1 donne une solution de la forme

${\displaystyle y=c_{1}x^{m_{1}}+c_{2}x^{m_{2}}.}$

Le cas 2 donne

${\displaystyle y=c_{1}x^{m}\ln(x)+c_{2}x^{m}.}$

Le cas 3 donne une solution de la forme

${\displaystyle y=c_{1}x^{\alpha }\cos(\beta \ln(x))+c_{2}x^{\alpha }\sin(\beta \ln(x))\,}$

${\displaystyle \alpha =\mathop {\rm {Re}} (m)\,}$

${\displaystyle \beta =\mathop {\rm {Im}} (m)\,}$

avec c₁, c₂ ∈ ℝ .

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