Équation aux différences

En mathématiques, une équation aux différences est l'analogue d'une équation différentielle, où les dérivées sont remplacées par des opérateurs de différence finie.

À l'aide de l'opérateur :

${\displaystyle \Delta :a_{n}\mapsto a_{n+1}-a_{n}}$

et de ses puissances :

${\displaystyle \Delta ^{2}:a_{n}\mapsto a_{n+2}-2\,a_{n+1}+a_{n}}$, etc.,

des dérivées comme ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} T}{\mathrm {d} t}}}$ et ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}T}{\mathrm {d} t^{2}}}}$ sont remplacées par ${\displaystyle {\frac {\Delta T_{n}}{\Delta t_{n}}}}$ et ${\displaystyle {\frac {\Delta ^{2}T_{n}}{(\Delta t_{n})^{2}}}}$, où l'on prend généralement ${\displaystyle \Delta t_{n}}$ constant (noté simplement ${\displaystyle \Delta t}$).

De manière similaire, une équation aux dérivées partielles comme :

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}=\kappa {\frac {\partial ^{2}T}{\partial x^{2}}}}$,

portant sur la fonction inconnue ${\displaystyle T(x,t)}$, est remplacée par l'équation aux différences :

${\displaystyle {\frac {T_{m,n+1}-T_{m,n}}{\Delta t}}=\kappa {\frac {T_{m+2,n}-2\,T_{m+1,n}+T_{m,n}}{(\Delta x)^{2}}}}$,

qui porte sur les éléments ${\displaystyle T_{m,n}}$ d'une double suite (dans l'espace et dans le temps).

• (en) Paul M. Batchelder, An introduction to linear difference equations, Dover Publications, 1967 (1^re éd. 1927)
• (en) Kenneth S. Miller, Linear difference equations, W. A. Benjamin, 1968

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